10. AC = 8, AH = 4. HK = ?

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACH \) катет \( CH \) равен:

\[ CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ (единиц)}\]

Высота \( HK \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle ACH \) к гипотенузе \( AC \) может быть найдена по формуле:

\[ HK = \frac{AH \cdot CH}{AC} = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{8} = \frac{16\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3} \text{ (единиц)}\]

Примечание: В условии задачи дана длина AC=8, AH=4. На чертеже AC=8, а AH=4. На чертеже также есть отрезок CK, перпендикулярный AC, и отрезок BK. Без дополнительной информации о точке K (является ли она основанием высоты из C на AB, или какой-то другой точкой), невозможно однозначно найти HK, если HK не является высотой из C. Однако, если задача подразумевает, что HK - это высота в треугольнике ACH, то решение выше верно. Если HK - это высота треугольника ABC, проведенная из вершины C, то тогда K совпадает с H, и HK = CH. Если же HK - это высота в другом треугольнике, то задача не имеет достаточной информации. В данном решении предполагается, что HK - это высота в прямоугольном треугольнике ACH.

Ответ: \( 2\sqrt{3} \).