10. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки 7 см и 8 см. Найдите периметр прямоугольника. Рассмотрите все возможные случаи.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK = 7 см и KC = 8 см, или на отрезки BK = 8 см и KC = 7 см.

Случай 1: BC = BK + KC = 7 + 8 = 15 см.

Так как AB || DC, то при пересечении секущей BC, угол BAC = угол ACD (как накрест лежащие). По условию, AK — биссектриса угла A, значит, угол BAK = угол KAD. Поскольку ABCD — прямоугольник, угол A = 90°, тогда угол BAK = 45°. Угол KAD = 45°.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол ABK = 90° (угол прямоугольника). Угол BAK = 45° (биссектриса). Следовательно, угол AKB = 180° - 90° - 45° = 45°.

Так как углы BAK и AKB равны, треугольник ABK — равнобедренный. Следовательно, AB = BK = 7 см.

Периметр прямоугольника P = 2(AB + BC) = 2(7 + 15) = 2(22) = 44 см.

Случай 2: BC = BK + KC = 8 + 7 = 15 см.

В этом случае AB || DC, угол BAC = угол ACD. AK — биссектриса, угол BAK = угол KAD = 45°.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол ABK = 90°. Угол BAK = 45°. Угол AKB = 45°.

Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, AB = BK = 8 см.

Периметр прямоугольника P = 2(AB + BC) = 2(8 + 15) = 2(23) = 46 см.

Ответ: Периметр прямоугольника может быть равен 44 см или 46 см.