10. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке P, причём BP = PC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 54 см.

1) Так как луч AD — секущая параллельных прямых AB и CD, то углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 3 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей AP. Следовательно, \(\angle 1=\angle 3\).

2) В треугольнике ABP углы 1 и 3 равны, поэтому он равнобедренный: \(AB=BP\).

3) По условию \(BP=PC\), значит \(BC=BP+PC=2BP=2AB\).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(DC=AB\), а \(AD=BC\).

Периметр:

\[P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(AB+2AB)=6AB.\]

\[6AB=54,\qquad AB=9\text{ см}.\]

\[BC=2AB=18\text{ см}.\]

Ответ: \(AB=DC=9\) см, \(BC=AD=18\) см.