10. Четырёхугольник ATDR со сторонами AT = 26 и DR = 92 вписан в окружность. Диагонали AD и TR пересекаются в точке F, причём ∠AFT = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Пусть половины угловых мер дуг AT и DR равны \(x\) и \(y\). По теореме о пересекающихся хордах \(\angle AFT\) равен половине суммы дуг AT и DR, поэтому \(x+y=60^\circ\).

1. По формуле хорды: \(AT=2R\sin x\), \(DR=2R\sin y\). Из данных получаем \(\sin x=13/R\) и \(\sin y=46/R\).
2. Так как \(y=60^\circ-x\), имеем \(\sin(60^\circ-x)=\frac{46}{13}\sin x\). Раскрывая синус разности, получаем \(\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\frac{46}{13}\sin x\), откуда \(\tan x=\frac{13\sqrt3}{105}\).
3. Из этого значения тангенса следует \(\sin x=\frac{13}{62}\). Подставляя в \(\sin x=13/R\), находим \(R=62\).

Ответ: 62.