10. Дан параллелограмм ABCD. Разложите векторы AB и AD по векторам AC и BD.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Нам нужно разложить векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) по векторам \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\).

Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Для параллелограмма справедливы соотношения:

\(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\)

\(\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}\)

Из второго уравнения выразим \(\vec{AB} - \vec{AD} = -\vec{BD}\). Следовательно:

\(\vec{AB} - \vec{AD} = -\vec{BD}\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\)
2. \(\vec{AB} - \vec{AD} = -\vec{BD}\)

Сложим уравнения (1) и (2):

\((\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AB} - \vec{AD}) = \vec{AC} + (-\vec{BD})\)

\(2\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{BD}\)

\(\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{BD})\)

Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\((\vec{AB} + \vec{AD}) - (\vec{AB} - \vec{AD}) = \vec{AC} - (-\vec{BD})\)

\(2\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{BD}\)

\(\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})\)

Таким образом, мы разложили векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) по векторам \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\).

Ответ: \(\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{BD})\), \(\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})\).