10. Дано: ABCD — параллелограмм, E — середина отрезка BC; отрезок AE делит параллелограмм на области S₁ и S₂. [условие задания обрезано]

Так как E — середина основания BC, то \(BE=\frac12BC\). Треугольник ABE и параллелограмм ABCD имеют общую высоту к прямой BC, поэтому

\[S_1=S_{\triangle ABE}=\frac12\cdot BE\cdot h=\frac12\cdot\frac{BC}{2}\cdot h=\frac14S_{ABCD}.\]

Оставшаяся часть имеет площадь

\[S_2=S_{ABCD}-S_1=\frac34S_{ABCD}.\]

Следовательно,

\[S_1:S_2=\frac14:\frac34=1:3.\]

Ответ: \(S_1:S_2=1:3\), то есть \(S_2=3S_1\).