10) Дано: BB₁ ∥ CC₁, BC ∩ α = A, B₁ ∈ α, C₁ ∈ α. Доказать: △ABB₁ ∼ △ACC₁.

Точки A, B и C лежат на одной прямой, так как BC пересекает плоскость α в точке A.

1. Углы ∠ABB₁ и ∠ACC₁ равны, поскольку они образованы секущей ABC и параллельными прямыми BB₁ и CC₁:
   \(\angle ABB_1 = \angle ACC_1\).
2. Углы при вершине A равны как вертикальные:
   \(\angle BAB_1 = \angle CAC_1\).
3. Следовательно, в треугольниках ABB₁ и ACC₁ равны два соответствующих угла.

По признаку подобия по двум углам:

\[\triangle ABB_1 \sim \triangle ACC_1.\]

Ответ: △ABB₁ ∼ △ACC₁.