10. Дано: α ∥ β. Доказать: ∠PBA₁ + ∠A₁BB₁ = 180°.

Точки P, B и B₁ лежат на одной прямой, причём B находится между P и B₁. Поэтому лучи BP и BB₁ — противоположные.

Углы ∠PBA₁ и ∠A₁BB₁ имеют общую сторону BA₁, а две другие стороны — противоположные лучи BP и BB₁. Значит, это смежные углы, и их сумма равна 180°.

Ответ: ∠PBA₁ + ∠A₁BB₁ = 180°.