10) Дано: куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать: AC ∥ (A₁B₁C₁).

В кубе противоположные грани параллельны, поэтому плоскость основания (ABCD) параллельна плоскости верхней грани (A₁B₁C₁D₁). Диагональ AC лежит в плоскости основания.

Плоскости (ABCD) и (A₁B₁C₁D₁) параллельны, следовательно, любая прямая плоскости (ABCD) параллельна плоскости (A₁B₁C₁D₁), если она не совпадает с ней. Поэтому AC ∥ (A₁B₁C₁D₁).

Так как точки A₁, B₁, C₁ неколлинеарны и задают верхнюю грань куба, плоскость (A₁B₁C₁) совпадает с плоскостью (A₁B₁C₁D₁).

Ответ: AC ∥ (A₁B₁C₁).