10. Даны вершины пирамиды: A(−2; −1; 1), B(−3; −1; 5), C(−4; 0; 1), D(−2; 1; 3). Вычислить площадь основания \(S_{\triangle ABC}\) и объём пирамиды.

Найдём векторы \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;4)\) и \(\overrightarrow{AC}=(-2;1;0)\).

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4;-8;-1),\qquad |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=9.\]

Поэтому площадь основания:

\[S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot9=\frac{9}{2}.\]

Вектор \(\overrightarrow{AD}=(0;2;2)\). Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\right|.\]

\[\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(2;4;-4),\qquad \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=-18.\]

\[V=\frac{18}{6}=3.\]

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=\frac{9}{2}\), \(V=3\).