10. Диагональ равнобокой трапеции делит пополам её острый угол. Найдите периметр трапеции, если её острый угол равен 60°, а боковая сторона равна 7 см.

Обозначим трапецию ABCD, где AD и BC — основания, а диагональ AC делит угол A пополам. Боковые стороны равны: AB = CD = 7 см. Так как острые углы при основании равны 60°, проекция каждой боковой стороны на нижнее основание равна 7 cos 60° = 3,5 см, а высота трапеции равна 7 sin 60° = 7√3/2 см.

Угол между диагональю AC и основанием AD равен 30°. Поэтому горизонтальная проекция диагонали от A до C равна (7√3/2)/tan 30° = 10,5 см. Следовательно, верхнее основание BC = 10,5 − 3,5 = 7 см, а нижнее основание AD = BC + 2 · 3,5 = 14 см.

Периметр: P = AB + BC + CD + AD = 7 + 7 + 7 + 14 = 35 см.

Ответ: 35 см.