10. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_n=25\ ^\circ\mathrm C\), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды \(m=0{,}5\ \text{кг/с}\). Проходя по трубе расстояние \(x\), вода охлаждается от начальной температуры \(T_в=81\ ^\circ\mathrm C\) до температуры \(T\), причём \(x=\alpha\frac{cm}{\gamma}\log_2\frac{T_в-T_n}{T-T_n}\), где \(c=4200\ \frac{\text{Вт·с}}{\text{кг·}^\circ\mathrm C}\) — теплоёмкость воды, \(\gamma=42\ \frac{\text{Вт}}{\text{м·}^\circ\mathrm C}\) — коэффициент теплообмена, а \(\alpha=1{,}1\) — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 110 м.

Подставим данные в формулу. Сначала найдём коэффициент перед логарифмом:

\(\alpha\frac{cm}{\gamma}=1{,}1\cdot\frac{4200\cdot0{,}5}{42}=55\ \text{м}.\)

Тогда \(110=55\log_2\frac{81-25}{T-25}\), откуда \(\log_2\frac{56}{T-25}=2\).

По определению логарифма \(\frac{56}{T-25}=2^2=4\). Следовательно, \(T-25=14\), поэтому \(T=39\ ^\circ\mathrm C\).

Ответ: \(39\ ^\circ\mathrm C\).