10. Доказать признак параллелограмма по диагоналям.

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам: AO = OC и BO = OD. Докажем, что ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. AO = OC и BO = OD по условию.
2. Углы AOB и COD равны как вертикальные.
3. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Из равенства треугольников получаем ∠ABO = ∠CDO. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, значит AB ∥ CD.
5. Аналогично треугольники AOD и COB равны: AO = OC, OD = OB, а ∠AOD = ∠COB как вертикальные. Поэтому ∠ADO = ∠CBO, откуда AD ∥ BC.
6. Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.