10. Докажи, что разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 8. Запиши ответы в таблицу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Проверь ответы (см. в конце пособия). Если сделал много ошибок – повтори попытку (реши вариант 2).

Доказательство:

Пусть два последовательных чётных числа будут \( 2n \) и \( 2n + 2 \), где \( n \) — целое число.

Разность квадратов этих чисел равна:

\( (2n + 2)^2 - (2n)^2 \)

Раскроем скобки:

\( (4n^2 + 8n + 4) - 4n^2 \)

Упростим выражение:

\( 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4 \)

Это выражение не всегда делится на 8. В условии, вероятно, опечатка, и должно быть доказано, что разность квадратов двух последовательных *четных* чисел делится на 8. Проверим этот вариант:

Пусть два последовательных чётных числа будут \( 2n \) и \( 2(n+1) \).

Разность квадратов:

\( (2(n+1))^2 - (2n)^2 = (2n+2)^2 - (2n)^2 \)

\( = (2n)^2 + 2(2n)(2) + 2^2 - (2n)^2 \)

\( = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 \)

\( = 8n + 4 \)

Опять получили \( 8n + 4 \), что не делится на 8.

Предположим, что в условии имеется в виду удвоенная разность чисел, а не сама разность. Рассмотрим разность квадратов двух последовательных четных чисел:

Возьмем два последовательных четных числа, например, 4 и 6.

Разность квадратов: \( 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 \). 20 не делится на 8.

Возьмем 6 и 8.

Разность квадратов: \( 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28 \). 28 не делится на 8.

Возьмем 8 и 10.

Разность квадратов: \( 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \). 36 не делится на 8.

Возможно, в условии опечатка, и речь идёт о разности квадратов двух последовательных *нечётных* чисел.

Пусть два последовательных нечётных числа будут \( 2n+1 \) и \( 2n+3 \).

Разность квадратов:

\( (2n+3)^2 - (2n+1)^2 = ((2n+3) - (2n+1))((2n+3) + (2n+1)) \)

\( = (2n+3-2n-1)(2n+3+2n+1) \)

\( = (2)(4n+4) \)

\( = 8n + 8 = 8(n+1) \)

Это выражение делится на 8.

Если же задача именно про чётные числа, то, возможно, имелось в виду другое утверждение, например: «Разность между квадратом чётного числа и квадратом числа, предшествующего ему, делится на 8».

Чётное число: \( 2n \). Предыдущее ему число: \( 2n-1 \).

\( (2n)^2 - (2n-1)^2 = (2n - (2n-1))(2n + (2n-1)) \)

\( = (2n - 2n + 1)(4n - 1) \)

\( = 1 · (4n-1) = 4n-1 \). Не делится на 8.

Ещё один вариант: «Разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4, а не на 8».

\( (2n+2)^2 - (2n)^2 = 8n + 4 = 4(2n+1) \). Это выражение делится на 4.

Исходя из стандартных математических задач, скорее всего, имелось в виду доказательство делимости на 8 разности квадратов двух последовательных *нечётных* чисел.

Доказательство для нечётных чисел:

Пусть два последовательных нечётных числа: \( 2n - 1 \) и \( 2n + 1 \).

Разность их квадратов:

\( (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 \)

\( = ((2n + 1) - (2n - 1))((2n + 1) + (2n - 1)) \)

\( = (2n + 1 - 2n + 1)(2n + 1 + 2n - 1) \)

\( = (2)(4n) \)

\( = 8n \)

Выражение \( 8n \) делится на 8.

Заполним таблицу, предполагая, что задача всё же была о нечётных числах, и столбец таблицы означает первое число в паре (если бы она была). Однако, таблица явно пронумерована как 1, 2, 3... предполагая, что это порядковые номера четных чисел, т.е. 2, 4, 6...

Проверим утверждение для первых четных чисел:

• 1-е четное число = 2. Следующее = 4. Разность квадратов: \( 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \). 12 не делится на 8.
• 2-е четное число = 4. Следующее = 6. Разность квадратов: \( 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 \). 20 не делится на 8.
• 3-е четное число = 6. Следующее = 8. Разность квадратов: \( 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28 \). 28 не делится на 8.
• 4-е четное число = 8. Следующее = 10. Разность квадратов: \( 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \). 36 не делится на 8.
• 5-е четное число = 10. Следующее = 12. Разность квадратов: \( 12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44 \). 44 не делится на 8.
• 6-е четное число = 12. Следующее = 14. Разность квадратов: \( 14^2 - 12^2 = 196 - 144 = 52 \). 52 не делится на 8.
• 7-е четное число = 14. Следующее = 16. Разность квадратов: \( 16^2 - 14^2 = 256 - 196 = 60 \). 60 не делится на 8.
• 8-е четное число = 16. Следующее = 18. Разность квадратов: \( 18^2 - 16^2 = 324 - 256 = 68 \). 68 не делится на 8.
• 9-е четное число = 18. Следующее = 20. Разность квадратов: \( 20^2 - 18^2 = 400 - 324 = 76 \). 76 не делится на 8.
• 10-е четное число = 20. Следующее = 22. Разность квадратов: \( 22^2 - 20^2 = 484 - 400 = 84 \). 84 не делится на 8.

Вывод: Утверждение о делимости на 8 разности квадратов двух последовательных чётных чисел неверно. Вероятнее всего, в условии была допущена опечатка, и речь шла о двух последовательных нечётных числах.