10. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) M(1; 1), N(6; 1), P(7; 4), Q(2; 4); б) M(−5; 1), N(−4; 4), P(−1; 5), Q(−2; 2).

а) Найдём векторы противоположных сторон:

\(\overrightarrow{MN}=(6-1;\,1-1)=(5;0)\), \(\overrightarrow{QP}=(7-2;\,4-4)=(5;0)\).

\(\overrightarrow{NP}=(7-6;\,4-1)=(1;3)\), \(\overrightarrow{MQ}=(2-1;\,4-1)=(1;3)\).

Противоположные стороны попарно параллельны и равны, поэтому MNPQ — параллелограмм.

Диагонали: \(MP=\sqrt{(7-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\); \(NQ=\sqrt{(2-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25}=5\).

б) \(\overrightarrow{MN}=(-4-(-5);\,4-1)=(1;3)\), \(\overrightarrow{QP}=(-1-(-2);\,5-2)=(1;3)\).

Также \(\overrightarrow{NP}=(-1-(-4);\,5-4)=(3;1)\), \(\overrightarrow{MQ}=(-2-(-5);\,2-1)=(3;1)\). Следовательно, противоположные стороны попарно параллельны и равны, значит, MNPQ — параллелограмм.

Диагонали: \(MP=\sqrt{(-1-(-5))^2+(5-1)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\); \(NQ=\sqrt{(-2-(-4))^2+(2-4)^2}=\sqrt8=2\sqrt2\).

Ответ: а) \(MP=3\sqrt5\), \(NQ=5\); б) \(MP=4\sqrt2\), \(NQ=2\sqrt2\).