10. Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то он равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABC равны медианы, проведённые из вершин A и B. Обозначим их длины m_a и m_b, а стороны, лежащие напротив этих вершин, — a = BC и b = AC.

1. По теореме Аполлония: 4m_a² = 2b² + 2c² − a², а 4m_b² = 2a² + 2c² − b², где c = AB.
2. Так как m_a = m_b, правые части равны. После сокращения получаем 3b² = 3a², следовательно, a = b, поскольку длины сторон положительны.
3. Значит, BC = AC, и треугольник ABC равнобедренный.

Что и требовалось доказать.