10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y = 4x³ +5 / x и построить ее график.

Решение:

Для исследования функции \( y = \frac{4x^3 + 5}{x} \) и построения её графика, выполним следующие шаги:

1. Область определения: Функция определена для всех \( x \) кроме \( x = 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
2. Четность/нечетность: \( y(-x) = \frac{4(-x)^3 + 5}{-x} = \frac{-4x^3 + 5}{-x} = \frac{4x^3 - 5}{x} \). Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Пересечение с осями:
   • С осью OY: При \( x = 0 \) функция не определена.
   • С осью OX: \( y = 0 \) → \( 4x^3 + 5 = 0 \) → \( x^3 = -\frac{5}{4} \) → \( x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \).
4. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось OY).
   • Наклонные асимптоты: \( y = kx + b \).
   • \( k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^3 + 5}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{1} + \frac{5}{x^2} = \pm\infty \). Наклонных асимптот нет.
   • Горизонтальная асимптота: \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^3 + 5}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (4x^2 + \frac{5}{x}) = \pm\infty \).
   • Специальный вид асимптоты (при n=3): \( y = 4x^2 \) (т.к. \( \frac{4x^3+5}{x} = 4x^2 + \frac{5}{x} \), а \( \frac{5}{x} \to 0 \) при \( x \to \pm\infty \)).
5. Производная и экстремумы:
   • \( y' = \frac{(12x^2)(x) - (4x^3 + 5)(1)}{x^2} = \frac{12x^3 - 4x^3 - 5}{x^2} = \frac{8x^3 - 5}{x^2} \).
   • Критические точки: \( y' = 0 \) → \( 8x^3 - 5 = 0 \) → \( x^3 = \frac{5}{8} \) → \( x = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \).
   • Знаки производной:
     • При \( x < 0 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
     • При \( 0 < x < \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
     • При \( x > \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
   • Экстремумы: В точке \( x = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \) функция имеет минимум.
   • \( y_{min} = \frac{4(\frac{\sqrt[3]{5}}{2})^3 + 5}{\frac{\sqrt[3]{5}}{2}} = \frac{4(\frac{5}{8}) + 5}{\frac{\sqrt[3]{5}}{2}} = \frac{\frac{5}{2} + 5}{\frac{\sqrt[3]{5}}{2}} = \frac{\frac{15}{2}}{\frac{\sqrt[3]{5}}{2}} = \frac{15}{\sqrt[3]{5}} = 15 \cdot 5^{-1/3} \).
6. Вторая производная и точки перегиба:
   • \( y'' = \frac{(24x^2)(x^2) - (8x^3 - 5)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{24x^4 - 16x^4 + 10x}{x^4} = \frac{8x^4 + 10x}{x^4} = \frac{8x^3 + 10}{x^3} \).
   • Точки перегиба: \( y'' = 0 \) → \( 8x^3 + 10 = 0 \) → \( x^3 = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} \) → \( x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \).
   • Знаки второй производной:
     • При \( x < -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \), \( y'' < 0 \) (функция выпукла вверх).
     • При \( -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} < x < 0 \), \( y'' > 0 \) (функция выпукла вниз).
     • При \( 0 < x < \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \), \( y'' > 0 \) (функция выпукла вниз).
     • При \( x > \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \), \( y'' > 0 \) (функция выпукла вниз).
   • Точки перегиба: \( x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \).
7. Построение графика:
   • Отмечаем точку пересечения с осью OX: \( x = -\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \approx -1.08 \).
   • Отмечаем точку минимума: \( x = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} \approx 0.84 \), \( y_{min} \approx 5.2 \).
   • Учитываем вертикальную асимптоту \( x=0 \) и поведение функции.
   • Учитываем, что при \( x \to \pm\infty \), \( y \approx 4x^2 \).

Ответ: График функции построен с учетом её свойств: область определения, пересечения с осями, асимптоты, точки экстремума и перегиба.