Контрольные задания
Вопрос:

10 класс. Итоговая контрольная работа по математике. 3 вариант.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

1. Вычислите:


  1. 12 \(\sin\) 150^{\(\circ\)} \(\cdot\) \(\cos\) 120^{\(\circ\)} = 12 \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) \(\left\)\(-\frac{1}{2}\right\) = -3


  2. 3^{\(\sqrt{10}\)}: 21^{\(\sqrt{10}\)} = \(\left\)\(\frac{3}{21}\right\)^{\(\sqrt{10}\)} = \(\left\)\(\frac{1}{7}\right\)^{\(\sqrt{10}\)}


  3. \(\log\)_{12} \(\sqrt[12]{12}\) = \(\log\)_{12} 12^{\(\frac{1}{12}\)} = \(\frac{1}{12}\)


  4. Найдите \(\text{b}\), если \(\sin\) d = \(\frac{1}{\sqrt{10}}\), d \(\in\) \(\left\)\(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right\)

    Если \(\sin\) d = \(\frac{1}{\sqrt{10}}\), то \(\cos\) d = \(\sqrt{1 - \sin^2 d}\) = \(\sqrt\){1 - \(\left\)\(\frac{1}{\sqrt{10}}\right\)^2} = \(\sqrt{1 - \frac{1}{10}}\) = \(\sqrt{\frac{9}{10}}\) = \(\frac{3}{\sqrt{10}}\).

    \(\text{b}\) = \(\text{tg }\) d = \(\frac{\sin d}{\cos d}\) = \(\frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}}\) = \(\frac{1}{3}\)


  5. \(\frac{10 \sin 200^{\circ}}{\sin 100^{\circ} \cos 100^{\circ}}\) = \(\frac\){10 \(\sin\) \(180^{\circ} + 20^{\circ}\)}{\(\frac{1}{2}\) \(\sin\) \(2 \cdot 100^{\circ}\)} = \(\frac\){10 \(-\sin 20^{\circ}\)}{\(\frac{1}{2}\) \(\sin\) 200^{\(\circ\)}} = \(\frac{-20 \sin 20^{\circ}}\){\(\sin\) \(180^{\circ} + 20^{\circ}\)} = \(\frac{-20 \sin 20^{\circ}}{-\sin 20^{\circ}}\) = 20


  6. \(\sqrt{2}\) \(\cos\)^2 \(\frac{\pi}{8}\) - \(\sqrt{2}\) \(\sin\)^2 \(\frac{\pi}{8}\) = \(\sqrt{2}\) \(\left\)\(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}\right\) = \(\sqrt{2}\) \(\cos\) \(\left\)\(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right\) = \(\sqrt{2}\) \(\cos\) \(\frac{\pi}{4}\) = \(\sqrt{2}\) \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = 1


  7. \(\sqrt[4]{\sqrt{11}+8}\) \(\cdot\) \(\sqrt[4]{\sqrt{11}-8}\)

    Это выражение некорректно, так как под корнем четвертой степени будет отрицательное число (-7).


  8. 5 \(\cdot\) 3^{\(\log\)_3 4} = 5 \(\cdot\) 4 = 20


  9. \(\frac{4 \cos 152^{\circ}}{\cos 28^{\circ}}\) = \(\frac\){4 \(\cos\) \(180^{\circ} - 28^{\circ}\)}{\(\cos\) 28^{\(\circ\)}} = \(\frac\){4 \(-\cos 28^{\circ}\)}{\(\cos\) 28^{\(\circ\)}} = -4


  10. \(\sqrt{9}\) \(\cdot\) \(\sqrt{9}\) = 3 \(\cdot\) 3 = 9

2. Решите уравнение:


  1. \(\left\)\(\frac{1}{6}\right\)^{x-3} = 36

    \(\left\)\(6^{-1}\right\)^{x-3} = 6^2

    6^{-x+3} = 6^2

    -x+3 = 2

    -x = -1

    x = 1


  2. \(\sqrt[3]{x+5}\) = 2

    x+5 = 2^3

    x+5 = 8

    x = 3


  3. \(\log\)_7 (x-4) = 2 \(\log\)_7 4

    \(\log\)_7 (x-4) = \(\log\)_7 4^2

    \(\log\)_7 (x-4) = \(\log\)_7 16

    x-4 = 16

    x = 20


  4. \(\sin\)^2 x - 8 \(\sin\) x \(\cos\) x = 0

    \(\sin\) x \(\sin x - 8 \cos x\) = 0

    \(\sin\) x = 0 \(\text{ или }\) \(\sin\) x - 8 \(\cos\) x = 0

    x = \(\pi\) k, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)

    \(\text{или}\) \(\quad\) \(\text{tg }\) x = 8

    x = \(\text{arctg }\) 8 + \(\pi\) n, n \(\in\) \(\mathbb{Z}\)


  5. \(\lg x - 5\)\(3 \cos x - 1\) = 0

    \(\lg\) x - 5 = 0 \(\text{ или }\) 3 \(\cos\) x - 1 = 0

    \(\lg\) x = 5 \(\text{ или }\) \(\cos\) x = \(\frac{1}{3}\)

    x = 10^5

    x = \(\pm\) \(\arccos\) \(\frac{1}{3}\) + 2\(\pi\) k, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)

3. Решите неравенство:


  1. \(\left\)\(\frac{1}{2}\right\)^{x-3} \(\le\) \(\frac{1}{8}\)

    \(\left\)\(\frac{1}{2}\right\)^{x-3} \(\le\) \(\left\)\(\frac{1}{2}\right\)^3

    x-3 \(\ge\) 3 \(\quad\) \(\text{(знак неравенства меняется, т.к. основание < 1)}\)

    x \(\ge\) 6


  2. \(\log\)_2 (x+3) < 1

    x+3 > 0 \(\implies\) x > -3

    \(\log\)_2 (x+3) < \(\log\)_2 2

    x+3 < 2 \(\quad\) \(\text{(знак неравенства сохраняется, т.к. основание > 1)}\)

    x < -1

    Учитывая ОДЗ (x > -3), получаем: -3 < x < -1


  3. 7^{x^2 - 5x} < \(\left\)\(\frac{1}{7}\right\)^6

    7^{x^2 - 5x} < 7^{-6}

    x^2 - 5x < -6 \(\quad\) \(\text{(знак неравенства сохраняется, т.к. основание > 1)}\)

    x^2 - 5x + 6 < 0

    (x-2)(x-3) < 0

    2 < x < 3

4. В правильной треугольной пирамиде SABC, M - середина BC, SA = 6. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 30°. Найдите:

  1. AB

    Угол наклона бокового ребра к основанию - это угол между боковым ребром и его проекцией на основание. Проекцией SA на основание ABC является AO, где O - центр основания. Таким образом, \(\angle\) SAO = 30^{\(\circ\)}. SA = 6.

    В прямоугольном треугольнике SAO:

    AO = SA \(\cos\) 30^{\(\circ\)} = 6 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 3\(\sqrt{3}\).

    В правильном треугольнике ABC (основание пирамиды):

    AO = \(\frac{2}{3}\) h_a, где h_a - высота треугольника ABC.

    h_a = \(\frac{3}{2}\) AO = \(\frac{3}{2}\) \(\cdot\) 3\(\sqrt{3}\) = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\).

    Сторона AB = a. h_a = \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\).

    a = \(\frac{2 h_a}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}\) = 9.

    AB = 9

  2. Апофему SM

    В прямоугольном треугольнике SAO:

    SO = SA \(\sin\) 30^{\(\circ\)} = 6 \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = 3.

    M - середина BC. В правильном треугольнике ABC, AM - высота и медиана. AM = h_a = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\).

    В прямоугольном треугольнике SOM (SM - апофема):

    SM = \(\sqrt{SO^2 + OM^2}\)

    OM = \(\frac{1}{3}\) h_a = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).

    SM = \(\sqrt\){3^2 + \(\left\)\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right\)^2} = \(\sqrt{9 + \frac{27}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{36+27}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{63}{4}}\) = \(\frac{\sqrt{63}}{2}\) = \(\frac{3\sqrt{7}}{2}\).

    SM = \(\frac{3\sqrt{7}}{2}\)

  3. Soch (Площадь боковой поверхности)

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

    Периметр основания P = 3a = 3 \(\cdot\) 9 = 27.

    Soch = \(\frac{1}{2}\) P \(\cdot\) SM = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 27 \(\cdot\) \(\frac{3\sqrt{7}}{2}\) = \(\frac{81\sqrt{7}}{4}\).

    Soch = \(\frac{81\sqrt{7}}{4}\)

  4. Sook (Площадь основания)

    Площадь правильного треугольника со стороной a = 9:

    S_a = \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{9^2 \sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{81\sqrt{3}}{4}\).

    S_a = \(\frac{81\sqrt{3}}{4}\)

  5. V (Объем)

    V = \(\frac{1}{3}\) S_a \(\cdot\) SO = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) \(\frac{81\sqrt{3}}{4}\) \(\cdot\) 3 = \(\frac{81\sqrt{3}}{4}\).

    V = \(\frac{81\sqrt{3}}{4}\)

5. В прямоугольном параллелепипеде BD_1 = \(\sqrt{62}\), AA_1 = 6, B_1C_1 = 1. Найдите длину ребра AB.

В прямоугольном параллелепипеде: AB = CD = A_1B_1 = C_1D_1, BC = B_1C_1 = A_1D_1 = C_1D_1.

По условию B_1C_1 = 1, значит BC = 1.

Диагональ BD_1 = \(\sqrt{AB^2 + BC^2 + AA_1^2}\)

\(\sqrt{62}\) = \(\sqrt{AB^2 + 1^2 + 6^2}\)

62 = AB^2 + 1 + 36

62 = AB^2 + 37

AB^2 = 62 - 37

AB^2 = 25

AB = 5

AB = 5

6. Найдите:

  1. а) Объем

    Объем параллелепипеда V = AB \(\cdot\) BC \(\cdot\) AA_1 = 5 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 6 = 30.

    V = 30

  2. б) Площадь поверхности

    Площадь поверхности параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней, исходящих из одной вершины.

    S_{пов} = 2 \(AB \cdot BC + BC \cdot AA_1 + AB \cdot AA_1\)

    S_{пов} = 2 \(5 \cdot 1 + 1 \cdot 6 + 5 \cdot 6\)

    S_{пов} = 2 (5 + 6 + 30)

    S_{пов} = 2 (41)

    S_{пов} = 82

    S_{пов} = 82

7. Решите уравнение:

\(\sin\) 2x + 2 \(\cos\) \(\left\)\(\frac{\pi}{2} - x\right\) = \(\sqrt{3}\) \(\cos\) x + \(\sqrt{3}\)

Используем формулу приведения: \(\cos\) \(\left\)\(\frac{\pi}{2} - x\right\) = \(\sin\) x.

\(\sin\) 2x + 2 \(\sin\) x = \(\sqrt{3}\) \(\cos\) x + \(\sqrt{3}\)

Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin\) 2x = 2 \(\sin\) x \(\cos\) x.

2 \(\sin\) x \(\cos\) x + 2 \(\sin\) x = \(\sqrt{3}\) \(\cos\) x + \(\sqrt{3}\)

2 \(\sin\) x \(\cos x + 1\) = \(\sqrt{3}\) \(\cos x + 1\)

2 \(\sin\) x \(\cos x + 1\) - \(\sqrt{3}\) \(\cos x + 1\) = 0

\(\cos x + 1\)\(2 \sin x - \sqrt{3}\) = 0

\(\cos\) x + 1 = 0 \(\text{ или }\) 2 \(\sin\) x - \(\sqrt{3}\) = 0

\(\cos\) x = -1 \(\text{ или }\) \(\sin\) x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

x = \(\pi\) + 2\(\pi\) k, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) \(\quad\) \(\text{ или }\) \(\quad\) x = \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\) n, x = \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\) m, n,m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)

8. Решите уравнение:

2 \(\log\)_2 x - 3 \(\log\)_2 x + 1 = 0

\(\text{ОДЗ: }\) x > 0

- \(\log\)_2 x + 1 = 0

\(\log\)_2 x = 1

x = 2^1

x = 2

Ответ: x = 2

9. Решите неравенство:

4^x - 5 \(\cdot\) 2^x + 6 \(\ge\) 0

Пусть \(y = 2^x\). Так как \(2^x > 0\), то \(y > 0\).

\(y^2 - 5y + 6 \ge 0\)

Найдем корни квадратного трехчлена: \(y^2 - 5y + 6 = 0\).

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\).

\(y_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2\), \(y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\).

\(y^2 - 5y + 6 \ge 0\) при \(y \le 2\) или \(y \ge 3\).

Подставляем обратно \(y = 2^x\):

\(2^x \le 2\) или \(2^x \ge 3\).

\(2^x \le 2^1\) или \(2^x \ge 3\).

\(x \le 1\) или \(x \ge \log_2 3\).

Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [\log_2 3; \infty)\)

10. Решите неравенство:

\(\log\)_3 (x-2) + \(\log\)_3 (x+2) \(\ge\) \(\log\)_3 (2x-1)

ОДЗ:

\(x-2 > 0 \implies x > 2\)

\(x+2 > 0 \implies x > -2\)

\(2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}\)

Объединяя ОДЗ, получаем \(x > 2\).

Решение:

\(\log_3 ((x-2)(x+2)) \ge \log_3 (2x-1)\)

\(\log_3 (x^2 - 4) \ge \log_3 (2x-1)\)

Так как основание логарифма (3) больше 1, то:

\(x^2 - 4 \ge 2x - 1\)

\(x^2 - 2x - 3 \ge 0\)

Найдем корни квадратного трехчлена: \(x^2 - 2x - 3 = 0\).

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).

\(x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

\(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).

\(x^2 - 2x - 3 \ge 0\) при \(x \le -1\) или \(x \ge 3\).

Учитывая ОДЗ (\(x > 2\)), получаем \(x \ge 3\).

Ответ: \(x \in [3; \infty)\)

📄 Все ответы📸 Решить моё задание
Подать жалобу Правообладателю