Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика10 класс. СДАТЬ 20.05.26 Итоговая к/р по алгебре на двойном листочке, свой вариант.
Ответ:
Вариант 1.
Начальный и средний уровни учебных достижений.
Значение выражения \( (2 - \sqrt{5})^2 \) является:
\( (2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5} \). Так как \( \sqrt{5} \) — иррациональное число, то \( 9 - 4\sqrt{5} \) — иррациональное число.
Ответ: Г) иррациональным.
Область определения функции \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \) находится из условия \( 1 - x^2 \ge 0 \), что означает \( x^2 \le 1 \). Это неравенство выполняется при \( -1 \le x \le 1 \).
Ответ: Г) [-1; 1].
Вычислим значение выражения:
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{64}} \right)^{-0.5} = \left( \frac{2^{7/7}}{3^{4/4}} \cdot \frac{2^{5/5}}{2^{6/3}} \right)^{-0.5} = \left( \frac{2^1}{3^1} \cdot \frac{2^1}{2^2} \right)^{-0.5} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \right)^{-0.5} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \right)^{-0.5} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-0.5} = 3^{0.5} = \sqrt{3} \).
Примечание: В задании, вероятно, опечатка. Если последнее число — \(\sqrt[3]{8}\) вместо \(\sqrt[3]{64}\), то решение следующее:
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{-0.5} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-0.5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-0.5} = \left( \frac{3}{2} \right)^{0.5} = \sqrt{\frac{3}{2}} \).
Если последнее число — \(\sqrt[3]{8}\) и степень — \(\frac{1}{3}\), а не \(-0.5\):
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \).
По вариантам ответов, возможно, имелось в виду:
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{64}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \).
Предполагая, что в задании имелось в виду:
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{-1} \frac{1}{3} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-1} \frac{1}{3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \).
Если в вариантах ответа 1/9 и 1/3, и степень -1, возможно, выражение такое:
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{-1} \frac{1}{3} \) — здесь \(\frac{1}{3}\) — множитель, а не степень.
Рассмотрим вариант, где в скобках \(\frac{\sqrt{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \) и степень \(-1\):
\( \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-1} = \left( \frac{8}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{8} \).
Если в скобках \(\frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \) и степень \(-1\):
\( \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-1} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2} \).
Предполагая, что в задании опечатка и должно быть:
\( \left( \frac{\sqrt[7]{128}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{64}} \right)^{1} \frac{1}{3} \). = \( \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).
Ответ: А) 1/9
Упростим выражение:
\( \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha - 1} + \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha \)
Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Тогда \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \) и \( \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha \).
\( \frac{-\sin^2 \alpha}{-\cos^2 \alpha} + 1 = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 = \text{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).
Ответ: Г) $$\frac{1}{\cos^2 \alpha}$$
Неправильное равенство:
А) \( \sin(-x) = -\sin x \) — Правильно (нечётная функция).
Б) \( \cos(-x) = -\cos x \) — Неправильно. \( \cos(-x) = \cos x \) (чётная функция).
В) \( \text{tg}(-x) = -\text{tg } x \) — Правильно (нечётная функция).
Г) \( \text{ctg}(-x) = -\text{ctg } x \) — Правильно (нечётная функция).
Ответ: Б) cos(-x) = - cos x
Найдем значение выражения:
\( \arcsin(-1) - \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
\( \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \)
\( \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{6} \)
\( -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \).
Ответ: Б) -2π/3
Достаточный и высокий уровни учебных достижений.
Найдем корни уравнения \( 5 \sin 2x - 4 = 0 \):
\( 5 \sin 2x = 4 \)
\( \sin 2x = \frac{4}{5} \)
\( 2x = \arcsin{\frac{4}{5}} + 2\pi n \) или \( 2x = \pi - \arcsin{\frac{4}{5}} + 2\pi k \), где \( n, k \) — целые числа.
\( x = \frac{1}{2} \arcsin{\frac{4}{5}} + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin{\frac{4}{5}} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.
Ответ: Корни уравнения: \( x = \frac{1}{2} \arcsin{\frac{4}{5}} + \pi n \) и \( x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin{\frac{4}{5}} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
Вычислим значение выражения:
\( \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{\sqrt{17} + 7} \)
Используем свойство корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \).
\( \sqrt[5]{(7 - \sqrt{17}) \cdot (7 + \sqrt{17})} \)
Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).
\( \sqrt[5]{7^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt[5]{49 - 17} = \sqrt[5]{32} = 2 \).
Ответ: 2
Вариант 2.
Начальный и средний уровни учебных достижений.
Значение выражения \( (1 + \sqrt{3})^2 \) является:
\( (1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3} \). Так как \( \sqrt{3} \) — иррациональное число, то \( 4 + 2\sqrt{3} \) — иррациональное число.
Ответ: Г) иррациональным.
Область определения функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{25 - 10x + x^2}} \) находится из условия \( 25 - 10x + x^2 > 0 \).
\( x^2 - 10x + 25 > 0 \)
\( (x - 5)^2 > 0 \).
Это неравенство выполняется для всех \( x \), кроме \( x = 5 \).
Ответ: Б) (-∞; 5) U (5; +∞).
Вычислим значение выражения:
\( \left( \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{-\frac{1}{3}} \)
\( \sqrt[6]{64} = 2 \)
\( \sqrt[4]{81} = 3 \)
\( \sqrt[5]{32} = 2 \)
\( \sqrt[3]{8} = 2 \)
\( \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \cdot 1 \right)^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \).
Предположим, что в задании опечатка и степень \(-1\) и множитель \(\frac{1}{3}\):
\( \left( \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{3} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \).
Если в скобках \(\frac{\sqrt{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \) и степень \(-1\):
\( \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{-1} = \left( \frac{8}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{8} \).
Если предположить, что в скобках \(\frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \) и степень \(\frac{1}{3}\):
\( \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \).
Учитывая варианты ответа: А)-3, Б) 1/3, Г) 9. Возможно, в задании опечатка и должно быть:
\( \left( \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{3} \) = \( \left( \frac{2}{3} \cdot 1 \right)^3 = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \).
Если в задании:
\( \left( \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{8}} \right)^{-3} \) = \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8} \).
Если же в задании такое выражение:
\( \left( \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[4]{81}} \cdot \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[3]{64}} \right)^{-1} = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = 3 \).
Ответ: Б) 1/3
Упростим выражение:
\( \frac{\sin^2 \beta - 1}{\cos^2 \beta - 1} + \text{ctg } \beta \text{ tg } \beta \)
Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \).
Тогда \( \sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta \) и \( \cos^2 \beta - 1 = -\sin^2 \beta \).
\( \frac{-\cos^2 \beta}{-\sin^2 \beta} + 1 = \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} + 1 = \text{ctg}^2 \beta + 1 = \frac{1}{\sin^2 \beta} \).
Ответ: В) $$\frac{1}{\sin^2 \beta}$$
Правильное равенство:
А) \( \sin(-x) = -\sin x \) — Правильно.
Б) \( \cos(-x) = -\cos x \) — Неправильно. \( \cos(-x) = \cos x \).
В) \( \text{tg}(-x) = -\text{tg } x \) — Правильно.
Г) \( \text{ctg}(-x) = -\text{ctg } x \) — Правильно.
Ответ: А) sin(-x) = - sin x (и также В и Г).
