10 Кондитер испѐк 20 пирожных. Известно, что 12 пирожных он посыпал сахарной пудрой и 5 пирожных посыпал шоколадной стружкой (пирожное может быть посыпано и шоколадной стружкой, и сахарной пудрой вместе). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Найдутся 3 пирожных, которые ничем не посыпаны. 2) Найдутся 8 пирожных, которые посыпаны и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой. 3) Не может оказаться больше 8 пирожных, которые ничем не посыпаны. 4) Не может оказаться меньше 10 пирожных, которые посыпаны и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой. Ответ:

Решение:

Обозначим:

• \( N = 20 \) — общее количество пирожных.
• \( S \) — количество пирожных, посыпанных сахарной пудрой, \( |S| = 12 \).
• \( Ch \) — количество пирожных, посыпанных шоколадной стружкой, \( |Ch| = 5 \).

Пусть \( x \) — количество пирожных, посыпанных и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой. Тогда количество пирожных, посыпанных только сахарной пудрой, равно \( 12 - x \), а только шоколадной стружкой — \( 5 - x \).

Общее количество посыпанных пирожных равно \( (12 - x) + (5 - x) + x = 17 - x \).

Количество ничем не посыпанных пирожных равно \( 20 - (17 - x) = 3 + x \).

Теперь проверим каждое утверждение:

1. Найдутся 3 пирожных, которые ничем не посыпаны.



Это возможно, если \( x = 0 \). Тогда ничем не посыпано \( 3 + 0 = 3 \) пирожных. Утверждение верно.




2. Найдутся 8 пирожных, которые посыпаны и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой.



Это значит, что \( x = 8 \). В этом случае:



• Только сахарной пудрой: \( 12 - 8 = 4 \).
• Только шоколадной стружкой: \( 5 - 8 = -3 \), что невозможно.

Значит, \( x \) не может быть 8. Утверждение неверно.




3. Не может оказаться больше 8 пирожных, которые ничем не посыпаны.



Количество ничем не посыпанных пирожных равно \( 3 + x \). Максимальное значение \( x \) определяется условиями, что \( 12 - x \geq 0 \) и \( 5 - x \geq 0 \), то есть \( x \leq 5 \). Максимальное число ничем не посыпанных пирожных будет при \( x = 5 \), что составит \( 3 + 5 = 8 \). Следовательно, не может оказаться больше 8 пирожных, которые ничем не посыпаны. Утверждение верно.




4. Не может оказаться меньше 10 пирожных, которые посыпаны и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой.



Это утверждение говорит, что \( x \geq 10 \). Но мы выяснили, что \( x \leq 5 \). Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: 1, 3