10. Кондитер испек 20 пирожных. Известно, что 12 пирожных он посыпал сахарной пудрой и 5 пирожных посыпал шоколадной стружкой (пирожное может быть посыпано и шоколадной стружкой, и сахарной пудрой вместе). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи удобно использовать принцип включения-исключения или диаграмму Эйлера-Венна, чтобы понять, как соотносятся множества пирожных, посыпанных сахарной пудрой, шоколадной стружкой, и ничем не посыпанных.

Пошаговое решение:

Обозначим:

• Всего пирожных: 20
• Сахарная пудра (СП): 12
• Шоколадная стружка (ШС): 5

Анализ утверждений:

1. Утверждение 1: Найдутся 3 пирожных, которые ничем не посыпаны.
   Максимальное количество пирожных, посыпанных хотя бы чем-то, может быть, если все 5 с ШС также посыпаны СП. Тогда всего будет 12 (СП) + 0 (только ШС) = 12. В этом случае ничем не посыпаны: 20 - 12 = 8.
   Минимальное количество пирожных, посыпанных хотя бы чем-то, будет, если 5 с ШС являются частью из 12 с СП. Тогда всего будет 12. Ничем не посыпаны: 20 - 12 = 8.
   Если 5 с ШС не пересекаются с 12 с СП, то всего посыпанных: 12 + 5 = 17. Тогда ничем не посыпаны: 20 - 17 = 3.
   Таким образом, количество не посыпанных пирожных может быть от 3 до 8. Следовательно, утверждение, что их ровно 3, не всегда верно, но возможно. Однако, нас просят выбрать верные утверждения. Давайте посмотрим на другие варианты.
2. Утверждение 2: Найдутся 8 пирожных, которые посыпаны и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой.
   Чтобы найти количество пирожных, посыпанных обоими видами посыпки, используем формулу: |СП ∪ ШС| = |СП| + |ШС| - |СП ∩ ШС|.
   Мы знаем, что общее количество пирожных (20) больше или равно количеству пирожных, посыпанных хотя бы чем-то (|СП ∪ ШС|).
   Пусть X - количество пирожных, посыпанных обоими видами (СП ∩ ШС).
   Тогда количество пирожных, посыпанных только СП = 12 - X.
   Количество пирожных, посыпанных только ШС = 5 - X.
   Общее количество посыпанных: (12 - X) + (5 - X) + X = 17 - X.
   Мы знаем, что 17 - X ≤ 20 (общее число пирожных). Это условие всегда выполняется, так как X ≥ 0.
   Также, X ≤ 5 (не может быть больше тех, кто с ШС) и X ≤ 12 (не может быть больше тех, кто с СП).
   Количество пирожных, ничем не посыпанных, равно 20 - (17 - X) = 3 + X.
   Минимальное значение X = 0 (пирожные с ШС не пересекаются с пирожными с СП). В этом случае не посыпанных = 3.
   Максимальное значение X = 5 (все 5 пирожных с ШС также посыпаны СП). В этом случае не посыпанных = 3 + 5 = 8.
   Таким образом, количество пирожных, посыпанных обоими видами, находится в диапазоне от 0 до 5. Утверждение, что их 8, неверно.
3. Утверждение 3: Не может оказаться больше 8 пирожных, которые ничем не посыпаны.
   Как мы выяснили в пункте 1, количество не посыпанных пирожных = 3 + X. Максимальное значение X = 5. Следовательно, максимальное количество не посыпанных = 3 + 5 = 8. Утверждение верно.
4. Утверждение 4: Не может оказаться меньше 10 пирожных, которые посыпаны и сахарной пудрой, и шоколадной стружкой.
   Как мы выяснили в пункте 2, количество пирожных, посыпанных обоими видами (X), находится в диапазоне от 0 до 5. Утверждение, что их не может быть меньше 10, означает, что X ≥ 10. Это противоречит нашим расчетам (X ≤ 5). Следовательно, это утверждение неверно.

Верные утверждения: 1 и 3.

Ответ: 1, 3