10. Кондитер испёк 40 печений, из них 10 штук он посыпал корицей, а 20 штук — сахаром (кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать). Укажите номера истинных утверждений.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи будем использовать логические рассуждения и принцип включения-исключения. Нам дано общее количество печений, количество посыпанных корицей и количество посыпанных сахаром. Важно учесть, что некоторые печенья могут быть посыпаны и тем, и другим, а некоторые — ничем.

Анализ утверждений:

• Утверждение 1: Найдётся 7 печений, которые ничем не посыпаны.
  Общее количество печений = 40.
  Печений, посыпанных корицей = 10.
  Печений, посыпанных сахаром = 20.
  Максимальное количество печений, которые могли быть посыпаны хотя бы чем-то: 10 (корица) + 20 (сахар) = 30. Но это в случае, если ни одно печенье не посыпано и тем, и другим.
  Если мы предположим, что все 10 печений с корицей также посыпаны сахаром, то всего будет 20 печений (10 с корицей и сахаром + 10 только с сахаром).
  Если мы предположим, что печенья с корицей и сахаром — это разные группы, то 10 + 20 = 30 печений. Тогда 40 - 30 = 10 печений не посыпаны ничем.
  Если же некоторые печенья посыпаны и тем, и другим, то количество печений, посыпанных хотя бы чем-то, будет меньше 30.
  Давайте рассмотрим крайний случай: если все 10 печений с корицей также посыпаны сахаром. Тогда у нас есть 10 печений с корицей и сахаром, и еще 10 печений только с сахаром. Всего 20 посыпанных печений. В этом случае 40 - 20 = 20 печений не посыпаны ничем.
  Рассмотрим другой крайний случай: 10 печений только с корицей, 20 печений только с сахаром. Тогда всего 30 посыпанных печений. 40 - 30 = 10 печений не посыпаны ничем.
  Теперь рассмотрим случай, когда есть пересечение. Пусть X печений посыпаны и корицей, и сахаром. Тогда (10-X) печений посыпаны только корицей, а (20-X) печений — только сахаром. Общее количество посыпанных печений = (10-X) + (20-X) + X = 30 - X.
  Чтобы число непосыпанных печений было 7, нужно, чтобы 30 - X = 40 - 7 = 33. Это невозможно, так как X должно быть больше или равно 0, и (10-X) >= 0, (20-X) >= 0.
  Рассмотрим, какое минимальное количество печений может быть не посыпано. Максимальное число посыпанных печений равно 30 (если нет пересечения). В этом случае 10 печений не посыпаны. Минимальное число посыпанных печений равно 20 (если все 10 печений с корицей также посыпаны сахаром). В этом случае 20 печений не посыпаны.
  Таким образом, количество непосыпанных печений может быть от 10 до 20. Утверждение, что их найдётся ровно 7, не является истинным.
• Утверждение 2: Найдётся 2 печенья, посыпанных и сахаром, и корицей.
  Пусть X — количество печений, посыпанных и сахаром, и корицей.
  Тогда (10 - X) — количество печений, посыпанных только корицей.
  А (20 - X) — количество печений, посыпанных только сахаром.
  Общее количество посыпанных печений: (10 - X) + (20 - X) + X = 30 - X.
  Общее количество печений: 40.
  Количество непосыпанных печений: 40 - (30 - X) = 10 + X.
  Из условий задачи мы знаем, что X может быть от 0 до 10 (так как печений с корицей всего 10).
  Если X = 0, то непосыпанных печений 10.
  Если X = 10, то непосыпанных печений 20.
  Утверждение, что найдётся ровно 2 печенья, посыпанных и сахаром, и корицей, возможно, но не является единственно верным или обязательно истинным. Если, например, 10 печений посыпаны корицей, 10 — сахаром, а 10 — и тем, и другим, то всего 30 печений, 10 не посыпаны. Здесь X = 10.
  Если 10 печений посыпаны корицей, 12 — сахаром, а 8 — и тем, и другим, то всего 10+12-8 = 14 посыпанных. 40-14 = 26 непосыпанных. Это не соответствует условию.
  Если 10 печений посыпаны корицей, 20 — сахаром, а 0 — и тем, и другим, то 30 посыпанных, 10 непосыпанных. X = 0.
  Если 10 печений посыпаны корицей, 20 — сахаром, а 2 — и тем, и другим, то (10-2)=8 только корицей, (20-2)=18 только сахаром. Всего посыпанных: 8 + 18 + 2 = 28. Непосыпанных: 40 - 28 = 12.
  Утверждение 2 не является истинным, так как количество печений, посыпанных и тем, и другим, может быть любым от 0 до 10.
• Утверждение 3: Каждое печенье, посыпанное корицей, посыпано и сахаром.
  Это означает, что все 10 печений, посыпанных корицей, также посыпаны сахаром. То есть, количество печений, посыпанных и корицей, и сахаром (X), равно 10.
  Если X = 10, то:
  Печений только с корицей: 10 - 10 = 0.
  Печений только с сахаром: 20 - 10 = 10.
  Печений с корицей и сахаром: 10.
  Всего посыпанных печений: 0 + 10 + 10 = 20.
  Непосыпанных печений: 40 - 20 = 20.
  Это утверждение является возможным, но не обязательным. Оно может быть истинным, если все печенья с корицей также посыпаны сахаром.
• Утверждение 4: Меньше 11 печений посыпаны и сахаром, и корицей.
  Как мы выяснили ранее, количество печений, посыпанных и сахаром, и корицей (X), может быть любым от 0 до 10.
  Все значения от 0 до 10 являются меньше 11.
  Следовательно, это утверждение всегда истинно, независимо от того, как именно распределены посыпанные печенья, при условии, что общее количество печений с корицей равно 10, а с сахаром — 20.

Ответ: 4