10. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Определения и свойства.

10. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

• Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Свойства:
• В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
• В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами и пересекаются в одной точке - центре треугольника.
• Биссектриса - это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину с противоположной стороной.
• Свойства:
• Биссектрисы всех углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (центром пересечения биссектрис).
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
• Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).
• Свойства:
• В остроугольном треугольнике все высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр).
• В прямоугольном треугольнике высоты, проведенные из вершин острых углов, являются катетами, а высота, проведенная из вершины прямого угла, пересекает гипотенузу. Точкой пересечения высот является вершина прямого угла.
• В тупоугольном треугольнике две высоты, проведенные из вершин острых углов, пересекаются внутри треугольника, а третья высота (из вершины тупого угла) пересекает продолжения противоположных сторон.
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.