10. Меньшее основание трапеции равно её боковым сторонам. Найдите углы трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис.).

На рисунке \(AB=BC=CD\), основания трапеции параллельны, а \(BD\perp AB\). Поскольку боковые стороны равны, трапеция равнобедренная.

1. Пусть длина меньшего основания \(BC\) равна \(l\), горизонтальная проекция боковой стороны \(AB\) на основание — \(x\), а высота — \(h\). Тогда \(AB^2=x^2+h^2=l^2\).
2. Из равнобедренности трапеции горизонтальная проекция \(CD\) тоже равна \(x\). Векторы \(\overrightarrow{BA}=(-x,-h)\) и \(\overrightarrow{BD}=(l+x,-h)\) перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: \(-x(l+x)+h^2=0\), то есть \(h^2=x(l+x)\).
3. Приравнивая выражения для \(h^2\), получаем \(l^2-x^2=x(l+x)\), откуда \(2x^2+lx-l^2=0\). Положительное решение: \(x=\frac{l}{2}\). Тогда \(h^2=l^2-\frac{l^2}{4}=\frac{3l^2}{4}\), следовательно, \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}l\).
4. Для угла при вершине \(A\): \(\tan A=\frac{h}{x}=\sqrt{3}\), значит, \(\angle A=60^\circ\). В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы supplementary: \(\angle D=60^\circ\), \(\angle B=\angle C=120^\circ\).

Ответ: \(\angle A=\angle D=60^\circ\), \(\angle B=\angle C=120^\circ\).