10. MH - высота треугольника KMP с прямым углом M, KH = 14. Найдите HP, если \(\angle\) HMP = 60°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике KMP угол M равен 90°. MH — высота, проведенная к гипотенузе KP. По условию \(\angle HMP = 60^{\circ}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник KHM. Угол MHP равен 90°, так как MH - высота.

В прямоугольном треугольнике MHР:

• \(\angle MHP = 90^{\circ}\)
• \(\angle HMP = 60^{\circ}\)
• \(\angle MPH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\)

В прямоугольном треугольнике KHM:

• \(\angle KHM = 90^{\circ}\)
• \(\angle HMK + \angle MKH = 90^{\circ}\)

В прямоугольном треугольнике KMP:

• \(\angle KMP = 90^{\circ}\)
• \(\angle MKP + \angle KPM = 90^{\circ}\)

Из того, что MH — высота, следует, что \(\triangle KHM \sim \triangle MHP \sim \triangle KMP\).

Рассмотрим \(\triangle MHР\). У нас есть \(\angle MPH = 30^{\circ}\) и \(\angle HMP = 60^{\circ}\).

В \(\triangle KHM\): \(\angle KHM = 90^{\circ}\). \(\angle HMK = 90^{\circ} - \angle MKH\).

В \(\triangle KMP\): \(\angle KMP = 90^{\circ}\). \(\angle MKP + \angle KPM = 90^{\circ}\).

Рассмотрим \(\triangle MHР\). Так как \(\angle MPH = 30^{\circ}\), то \( MH = \frac{1}{2} HP \). Или \( HP = 2 MH \).

Рассмотрим \(\triangle KHM\). У нас есть \( KH = 14 \). \(\angle HMK = 90^{\circ} - \angle MKH\).

В \(\triangle KMP\) \(\angle MKP = \angle HMK \) неверно.

Так как MH — высота, то \(\angle KHM = 90^{\circ}\) и \(\angle MHP = 90^{\circ}\).

В \(\triangle KHM\): \(\angle MKH = 90^{\circ} - \angle HMK \).

В \(\triangle MHP\): \(\angle MPH = 90^{\circ} - \angle HMP = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

В прямоугольном \(\triangle MHP\) катет MH лежит против угла \( 30^{\circ} \), значит \( MH = \frac{1}{2} HP \).

В прямоугольном \(\triangle KHM\): \(\tan(\angle MKH) = \frac{MH}{KH} = \frac{MH}{14}\).

В прямоугольном \(\triangle KMP\): \(\tan(\angle MKP) = \frac{MP}{KP}\) и \(\tan(\angle KPM) = \frac{KM}{MP}\).

Из \(\triangle KHM\) и \(\triangle MHP\), так как \(\angle KMP = 90^{\circ}\) и MH — высота, то \(\angle K = \angle HMP = 60^{\circ}\) (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами), и \(\angle P = \angle HMK = 30^{\circ}\).

Рассмотрим \(\triangle KHM\): \(\angle KHM = 90^{\circ}\), \(\angle K = 60^{\circ}\).

\(\tan(60^{\circ}) = \frac{MH}{KH}\)

\(\sqrt{3} = \frac{MH}{14}\)

\( MH = 14 \sqrt{3} \)

Теперь рассмотрим \(\triangle MHP\): \(\angle MHP = 90^{\circ}\), \(\angle P = 30^{\circ}\).

\(\tan(30^{\circ}) = \frac{MH}{HP}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{14 \sqrt{3}}{HP}\)

\( HP = 14 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 14 \cdot 3 = 42 \)

Ответ: HP = 42.