10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его наибольшей средней линии.

Решение:

Средняя линия треугольника равна половине основания, которому она параллельна. В прямоугольном треугольнике три средних линии, каждая из которых параллельна одной из сторон.

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \) (катеты) и \( c \) (гипотенуза).

Средние линии будут равны \( \frac{a}{2} \), \( \frac{b}{2} \) и \( \frac{c}{2} \).

На рисунке клетчатой бумаги видно, что катеты треугольника равны 4 клеткам и 3 клеткам.

Длина гипотенузы \( c \) находится по теореме Пифагора: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) клеток.

Длины средних линий:

• \( \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) клетки.
• \( \frac{b}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \) клетки.
• \( \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \) клетки.

Наибольшей средней линией является та, которая параллельна гипотенузе, её длина равна \( 2.5 \) клетки.

Ответ: 2.5