10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его наибольшей средней линии.

Решение:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. В прямоугольном треугольнике есть три средние линии, каждая из которых параллельна одной из сторон.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображенный на клетчатой бумаге. Стороны треугольника, образованные сторонами сетки, имеют длину 3 клетки и 4 клетки. Гипотенуза будет равна 5 клеткам (по теореме Пифагора: $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$, $$\sqrt{25} = 5$$).

Средние линии будут равны половине длины сторон, которым они параллельны:

• Средняя линия, параллельная катету длиной 3 клетки, будет равна $$3/2 = 1.5$$ клетки.
• Средняя линия, параллельная катету длиной 4 клетки, будет равна $$4/2 = 2$$ клетки.
• Средняя линия, параллельная гипотенузе длиной 5 клеток, будет равна $$5/2 = 2.5$$ клетки.

Наибольшая средняя линия равна 2.5 клетки.

Ответ: 2.5