10. На рисунке параллелограмм RSKL, RS = 12, M лежит на SK. Отрезок RM — биссектриса угла SRL, а LM — биссектриса угла RLS. Найдите периметр параллелограмма.

Обозначим длины сторон параллелограмма: \(RS=KL=12\), \(RL=SK=x\).

Так как \(RM\) — биссектриса угла \(SRL\), то \(\angle SRM=\angle MRL\). Поскольку \(SK\parallel RL\), получаем \(\angle MRL=\angle RMS\). Значит, в треугольнике \(RSM\) равны углы при \(R\) и \(M\), поэтому \(RS=SM=12\).

Аналогично, \(LM\) — биссектриса угла \(RLS\), значит \(\angle RLM=\angle MLS\). Так как \(SK\parallel RL\), то \(\angle MLS=\angle LMR\). Следовательно, в треугольнике \(RLM\) равны углы при \(L\) и \(M\), поэтому \(RL=RM\).

В треугольнике \(RSM\) имеем \(RS=SM=12\), а \(\angle RSM\) равен углу параллелограмма при вершине \(S\). Угол при \(R\) этого треугольника равен половине угла параллелограмма при \(R\). Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \(\angle RSM=2\angle SRM\). Тогда \(\angle RSM=90^\circ\), и \(RM=12\sqrt2\). Значит, \(RL=12\sqrt2\).

Периметр:

\(P=2(RS+RL)=2(12+12\sqrt2)=24(1+\sqrt2)\).

Ответ: \(24(1+\sqrt2)\).