10. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И, проходящих через город Ж?

Question

Вопрос:

Фото задания

10. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И, проходящих через город Ж?

Accepted Answer

Решение:

Для решения задачи будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А.

Шаг 1: Подсчет путей до города Ж.

Пути до А: 1 (сам город А)
Пути до Б: 1 (А → Б)
Пути до Г: 1 (А → Г)
Пути до В: Пути до Б + Пути до Г = 1 + 1 = 2 (А → Б → В, А → Г → В)
Пути до Д: Пути до А = 1 (А → Д)
Пути до Е: Пути до Б + Пути до В = 1 + 2 = 3 (А → Б → Е, А → Б → В → Е, А → Г → В → Е)
Пути до Ж: Пути до В + Пути до Е = 2 + 3 = 5 (А → Б → В → Ж, А → Г → В → Ж, А → Б → Е → Ж, А → Б → В → Е → Ж, А → Г → В → Е → Ж)

Шаг 2: Подсчет путей из города Ж в город И.

Пути, проходящие через Ж, можно разбить на две части: пути из А в Ж и пути из Ж в И.

Пути до А: 1
Пути до Б: 1
Пути до Г: 1
Пути до В: 2
Пути до Д: 1
Пути до Е: 3
Пути до Ж: 5 (как посчитали выше)

Теперь считаем пути из Ж в И:

Пути до Ж: 1 (мы уже там)
Пути до И: Пути до Ж + Пути до Е (из Ж в И идёт одна дорога из Ж в И, и одна дорога из Ж в Е, а из Е в И)

Это неверный подход. Надо считать пути от Ж до И, учитывая направления.

Корректный подход:

Пути из А в Ж:

А → Б (1)
А → Г (1)
А → Д (1)
А → Б → В (1)
А → Г → В (1)
А → Б → Е (1)
А → Б → В → Е (1)
А → Г → В → Е (1)
А → Б → В → Ж (1)
А → Г → В → Ж (1)
А → Б → Е → Ж (1)
А → Б → В → Е → Ж (1)
А → Г → В → Е → Ж (1)

Пути из Ж в И:

Ж → И (1)

Пути из Е в И:

Е → И (1)

Пути из В в Ж:

В → Ж (1)

Пути из Б в Е:

Б → Е (1)

Пути из Г в В:

Г → В (1)

Пути из А в Б:

А → Б (1)

Пути из А в Г:

А → Г (1)

Пути из А в Д:

А → Д (1)

Подсчет путей до каждого города:

A: 1
Б: A → Б (1)
Г: A → Г (1)
Д: A → Д (1)
В: A → Б → В (1) + A → Г → В (1) = 2
Е: A → Б → Е (1) + A → Б → В → Е (1) + A → Г → В → Е (1) = 3
Ж: A → Б → В → Ж (1) + A → Г → В → Ж (1) + A → Б → Е → Ж (1) + A → Б → В → Е → Ж (1) + A → Г → В → Е → Ж (1) = 5
И: Пути, ведущие в И, приходят из Ж и Е.
- Пути из Ж в И:
- Пути из Е в И:
Итого путей до И = Пути из Ж в И + Пути из Е в И = 5 + 3 = 8.

Все пути, проходящие через Ж, это пути из А в Ж, а затем из Ж в И.

Пути из А в Ж = 5.

Пути из Ж в И = 1 (только Ж → И).

Общее количество путей из А в И, проходящих через Ж = (Пути из А в Ж) * (Пути из Ж в И) = 5 * 1 = 5.

Однако, нам нужно найти пути из А в И, проходящие именно ЧЕРЕЗ город Ж.

Это означает, что Ж должен быть промежуточным пунктом на пути из А в И.

Пути из А в Ж = 5.

Далее из Ж можно попасть в И напрямую (Ж → И) или через Е (Ж → Е → И).

Случай 1: Путь из А в Ж, затем из Ж в И (прямо).

Путей из А в Ж: 5
Путь из Ж в И: 1
Количество таких путей: 5 * 1 = 5.

Случай 2: Путь из А в Ж, затем из Ж в Е, затем из Е в И.

Путей из А в Ж: 5
Путь из Ж в Е: 1
Путь из Е в И: 1
Количество таких путей: 5 * 1 * 1 = 5.

Общее количество путей из города А в город И, проходящих через город Ж, складывается из путей, которые заканчиваются в И, и где Ж является обязательным пунктом.

Пересчитаем пути, которые обязательно включают Ж как промежуточный пункт на пути из А в И.

Пути из А в Ж: 5
Пути из Ж в И:

Прямой путь: Ж → И (1 вариант)
Путь через Е: Ж → Е → И (1 вариант)

Общее количество путей из А в И, проходящих через Ж:

(Пути из А в Ж) * (Количество путей из Ж в И)
5 * (1 + 1) = 5 * 2 = 10.

Давайте еще раз проверим пути из Ж в И.

Из Ж идут стрелки в И и в Е.

Если мы в Ж, чтобы попасть в И, у нас есть два пути:

Ж → И (1 путь)
Ж → Е → И (1 путь)

Итак, из Ж есть 2 пути в И.

Количество путей из А в Ж = 5.

Общее количество путей из А в И, проходящих через Ж = (Путей из А в Ж) * (Путей из Ж в И) = 5 * 2 = 10.

Проверим подсчет путей до города Е:

А → Б (1) → Е (1) = 1
А → Г (1) → В (1) → Е (1) = 1
А → Б (1) → В (1) → Е (1) = 1

Всего до Е = 3. Верно.

Проверим подсчет путей до города Ж:

Пути, приходящие в Ж, идут из В и Е.
Пути из В в Ж:

Пути до В (2) * 1 (В → Ж) = 2

Пути из Е в Ж:

Пути до Е (3) * 1 (Е → Ж) = 3

Всего путей до Ж = 2 + 3 = 5. Верно.

Теперь считаем пути из А в И, проходящие через Ж.

Путь выглядит как А → ... → Ж → ... → И.

Количество путей из А в Ж = 5.

Далее из Ж нужно попасть в И. Возможные пути из Ж:

Ж → И (1 путь)
Ж → Е (1 путь)

Если мы идем Ж → И, то мы достигли цели. Количество таких полных путей: 5 (А→Ж) * 1 (Ж→И) = 5.

Если мы идем Ж → Е, то мы должны из Е попасть в И.

Путь Ж → Е → И.
Количество таких полных путей: 5 (А→Ж) * 1 (Ж→Е) * 1 (Е→И) = 5.

Всего путей, проходящих через Ж = 5 + 5 = 10.

Ответ: 10