10. На рисунке точки M, E и N лежат на одной прямой, ME = EN, FE = 8, ∠MFE = 45°, ∠EFN = 30°. Найдите FM = x и FN = y.

Обозначим α = ∠MEF. Так как M, E, N лежат на одной прямой, ∠FEN = 180° − α. В треугольнике FME угол при M равен 135° − α, а в треугольнике FEN угол при N равен α − 30°.

1. По теореме синусов и условию ME = EN:

8 · sin 45° / sin(135° − α) = 8 · sin 30° / sin(α − 30°).

Отсюда sin(135° − α) = √2 sin(α − 30°), поэтому tan α = 1 + √3 и α ≈ 69,90°.

2. По теореме синусов в треугольнике FME: x = 8 · sin α / sin(135° − α) ≈ 8,29.

3. В треугольнике FEN: y = 8 · sin α / sin(α − 30°) ≈ 11,73.

Ответ: x ≈ 8,29, y ≈ 11,73.