10. На рынок привезли 1 т фруктов: яблоки в ящиках по 48 кг, груши в ящиках по 20 кг, сливы в коробках по 14 кг и вишни в коробках по 10 кг. При этом яблок привезли в 2 раза больше, чем груш, а вишни столько же, сколько слив. Сколько фруктов каждого вида привезли на рынок?

Задание 10. Фрукты на рынке

Дано:

• Общая масса фруктов: \( 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} \).


• Яблоки: в ящиках по \( 48 \) кг.


• Груши: в ящиках по \( 20 \) кг.


• Сливы: в коробках по \( 14 \) кг.


• Вишни: в коробках по \( 10 \) кг.


• Яблок привезли в 2 раза больше, чем груш.


• Вишни привезли столько же, сколько слив.

Найти: массу каждого вида фруктов.

Решение:

Обозначим массу груш как \( x \) кг. Тогда масса яблок будет \( 2x \) кг.

Обозначим массу слив как \( y \) кг. Тогда масса вишни тоже будет \( y \) кг.

Общая масса всех фруктов составляет 1000 кг:

\[ 2x \text{ (яблоки)} + x \text{ (груши)} + y \text{ (сливы)} + y \text{ (вишни)} = 1000 \]

\[ 3x + 2y = 1000 \]

Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти такие значения \( x \) и \( y \), которые соответствуют условиям задачи. Поскольку фрукты привезены в ящиках и коробках, масса каждого вида должна быть кратна массе одного ящика/коробки.

Масса груш \( x \) должна быть кратна \( 20 \) кг.

Масса яблок \( 2x \) должна быть кратна \( 48 \) кг. Это значит, что \( x \) должен делиться на \( 48 / 2 = 24 \) кг.

Значит, \( x \) должно быть кратно \( 20 \) и \( 24 \). Наименьшее общее кратное (НОК) для \( 20 \) и \( 24 \) равно \( 120 \). То есть, \( x \) может быть \( 120, 240, 360, ... \).

Масса слив \( y \) должна быть кратна \( 14 \) кг.

Масса вишни \( y \) должна быть кратна \( 10 \) кг.

Значит, \( y \) должно быть кратно \( 14 \) и \( 10 \). НОК для \( 14 \) и \( 10 \) равно \( 70 \). То есть, \( y \) может быть \( 70, 140, 210, ... \).

Подставим возможные значения в уравнение \( 3x + 2y = 1000 \):

• Если \( x = 120 \) кг (груши), то \( 2x = 240 \) кг (яблоки).


• Тогда \( 3 × 120 + 2y = 1000 \)


• \( 360 + 2y = 1000 \)


• \( 2y = 1000 - 360 \)


• \( 2y = 640 \)


• \( y = 320 \) кг.

Проверим, кратна ли \( y = 320 \) числу \( 70 \) (кратность слив и вишни): \( 320 / 70 \) не является целым числом. Значит, \( x = 120 \) не подходит.

• Если \( x = 240 \) кг (груши), то \( 2x = 480 \) кг (яблоки).


• Тогда \( 3 × 240 + 2y = 1000 \)


• \( 720 + 2y = 1000 \)


• \( 2y = 1000 - 720 \)


• \( 2y = 280 \)


• \( y = 140 \) кг.

Проверим, кратна ли \( y = 140 \) числу \( 70 \) (кратность слив и вишни): \( 140 / 70 = 2 \). Это подходит! То есть, \( y=140 \) кг — это масса слив и вишни.

Итого:

• Груши: \( x = 240 \) кг.


• Яблоки: \( 2x = 480 \) кг.


• Сливы: \( y = 140 \) кг.


• Вишни: \( y = 140 \) кг.

Проверка: \( 240 + 480 + 140 + 140 = 1000 \) кг. Всё верно.

Ответ: яблок 480 кг, груш 240 кг, слив 140 кг, вишни 140 кг.