10. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяли произвольные точки M, K и E. Докажите, что отрезки BE и MK пересекаются.

Пусть точки M и K лежат на сторонах AB и BC соответственно, а E — на стороне AC.

Отрезок BE делит треугольник ABC на две части. Точка M лежит по одну сторону от прямой BE: она находится на стороне AB, отличной от точки B. Точка K лежит по другую сторону от прямой BE: она находится на стороне BC, отличной от B. Поэтому отрезок MK, соединяющий точки по разные стороны от прямой BE, пересекает эту прямую.

Точка пересечения принадлежит отрезку BE: прямая BE проходит внутри треугольника от вершины B до стороны AC, а отрезок MK целиком лежит внутри треугольника или на его границе.

Ответ: отрезки BE и MK пересекаются.