10. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены такие точки E и F, что AE = 5/6 AB, BF = 2/3 BC (рис. 45). Выразите векторы DE и DF через векторы DA = a и DC = b.

В параллелограмме \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\mathbf b\), а \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\mathbf a\).

Так как \(\overrightarrow{AE}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\), то

\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\mathbf a+\frac{5}{6}\mathbf b\).

Также \(\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{2}{3}\mathbf a\). Переходя от D к F через B, получаем

\(\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\mathbf a+\mathbf b-\frac{2}{3}\mathbf a=\frac{1}{3}\mathbf a+\mathbf b\).

Ответ: \(\overrightarrow{DE}=\mathbf a+\frac{5}{6}\mathbf b;\quad \overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\mathbf a+\mathbf b.\)