10. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 18 и 30; 2) 15 и 45; 3) 72 и 108; 4) 660 и 495; 5) 28, 84 и 98. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 15, 22, 27. Запишите все правильные дроби со знаменателем 30, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа. Докажите, что числа 644 и 495 — взаимно простые.

1) Найдём наибольшие общие делители.

1. Для 18 и 30: общие делители — 1, 2, 3, 6; наибольший — 6.
2. Для 15 и 45: 15 делит оба числа, поэтому НОД равен 15.
3. Для 72 и 108: общие делители включают 36, и большего общего делителя нет. НОД равен 36.
4. Для 660 и 495: 660 − 495 = 165, а 495 = 3 · 165. Значит, НОД равен 165.
5. НОД(28, 84) = 28, а НОД(28, 98) = 14; следовательно, НОД(28, 84, 98) = 14.

2) Пары взаимно простых чисел. Проверяем НОД каждой пары: НОД(15, 22) = 1, НОД(22, 27) = 1. Остальные пары имеют общий делитель больше 1.

3) Правильные дроби со знаменателем 30. Числитель должен быть меньше 30 и взаимно прост с 30. Подходящие числители: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Получаем дроби: 1/30, 7/30, 11/30, 13/30, 17/30, 19/30, 23/30, 29/30.

4) Докажем, что 644 и 495 взаимно просты. Разложим числа на простые множители: 644 = 2² · 7 · 23; 495 = 3² · 5 · 11. Общих простых множителей нет, поэтому НОД(644, 495) = 1.

Ответ: 1) 6; 2) 15; 3) 36; 4) 165; 5) 14. Взаимно простые пары: (15, 22), (22, 27). Дроби: 1/30, 7/30, 11/30, 13/30, 17/30, 19/30, 23/30, 29/30. Числа 644 и 495 взаимно просты.