10. Найдите наименьшее значение функции y = (x - 20) e^(x-19) на отрезке [18; 20].

Решение:

Найдем производную функции \( y = (x - 20) e^{x-19} \).

Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x - 20 \) и \( v = e^{x-19} \).

\( u' = 1 \)

\( v' = e^{x-19} \cdot (x-19)' = e^{x-19} \cdot 1 = e^{x-19} \)

Таким образом, производная \( y' \) равна:

\[ y' = 1 \cdot e^{x-19} + (x - 20) \cdot e^{x-19} \]

\[ y' = e^{x-19} (1 + x - 20) \]

\[ y' = e^{x-19} (x - 19) \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^{x-19} (x - 19) = 0 \]

Так как \( e^{x-19} \) всегда больше нуля, то единственное решение:

\[ x - 19 = 0 \implies x = 19 \]

Теперь проверим значения функции на концах отрезка \( [18; 20] \) и в критической точке \( x = 19 \).

1. При \( x = 18 \):

\[ y(18) = (18 - 20) e^{18-19} = -2 e^{-1} = - \frac{2}{e} \]

2. При \( x = 19 \):

\[ y(19) = (19 - 20) e^{19-19} = -1 e^{0} = -1 \cdot 1 = -1 \]

3. При \( x = 20 \):

\[ y(20) = (20 - 20) e^{20-19} = 0 e^{1} = 0 \cdot e = 0 \]

Сравним полученные значения: \( -\frac{2}{e} \approx -\frac{2}{2.718} \approx -0.736 \), \( -1 \), \( 0 \).

Наименьшее значение равно \( -1 \).

Ответ: -1