10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

Решение:

На рисунке изображена парабола, проходящая через точки \( (-4, 0) \) и \( (4, 0) \). Ось симметрии параболы — ось \( y \), вершина находится в точке \( (0, 10) \). Уравнение параболы имеет вид \( y = ax^2 + c \).

1. Найдем \( c \) из вершины: \( 10 = a(0)^2 + c \) → \( c = 10 \).
2. Найдем \( a \) из точки \( (4, 0) \): \( 0 = a(4)^2 + 10 \) → \( 16a = -10 \) → \( a = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8} \).
3. Таким образом, уравнение параболы: \( y = -\frac{5}{8}x^2 + 10 \).
4. Фигура ограничена осью \( x \) ( \( y=0 \) ) и параболой. Площадь фигуры вычисляется по формуле: \[ S = \int_{-4}^{4} ( -\frac{5}{8}x^2 + 10 ) dx \]
5. Вычислим интеграл: \[ S = \left[ -\frac{5}{8} \cdot \frac{x^3}{3} + 10x \right]_{-4}^{4} = \left[ -\frac{5}{24}x^3 + 10x \right]_{-4}^{4} \]
6. Подставим пределы интегрирования: \( S = \left( -\frac{5}{24}(4)^3 + 10(4) \right) - \left( -\frac{5}{24}(-4)^3 + 10(-4) \right) \)
7. \( S = \left( -\frac{5 \cdot 64}{24} + 40 \right) - \left( -\frac{5 \cdot (-64)}{24} - 40 \right) \)
8. \( S = \left( -\frac{320}{24} + 40 \right) - \left( \frac{320}{24} - 40 \right) \)
9. \( S = -\frac{320}{24} + 40 - \frac{320}{24} + 40 \)
10. \( S = 80 - \frac{640}{24} = 80 - \frac{80}{3} = \frac{240 - 80}{3} = \frac{160}{3} \).

Ответ: 160/3