10. Найдите, при каких значениях а и в решением системы уравнений является пара чисел (-3; 5).

Пошаговое решение:

Задана система уравнений:

\[ \begin{cases} (2a-1)x+by=3b \\ ax-(b+1)y = 4a-17 \end{cases} \]

Решением является пара чисел \( x = -3 \) и \( y = 5 \).

Подставим эти значения в первое уравнение:

\[ (2a-1)(-3) + b(5) = 3b \]

\[ -6a + 3 + 5b = 3b \]

\[ -6a + 3 = 3b - 5b \]

\[ -6a + 3 = -2b \]

Умножим обе части на -1 для удобства:

\[ 6a - 3 = 2b \]

Выразим \( b \) через \( a \):

\[ b = \frac{6a - 3}{2} = 3a - 1.5 \] (Уравнение 1)

Теперь подставим \( x = -3 \) и \( y = 5 \) во второе уравнение:

\[ a(-3) - (b+1)(5) = 4a - 17 \]

\[ -3a - 5b - 5 = 4a - 17 \]

\[ -5b - 5 = 4a + 3a - 17 \]

\[ -5b - 5 = 7a - 17 \]

Перенесем члены с \( a \) и \( b \) в одну сторону, а константы — в другую:

\[ -7a - 5b = -17 + 5 \]

\[ -7a - 5b = -12 \]

Умножим обе части на -1:

\[ 7a + 5b = 12 \] (Уравнение 2)

Теперь подставим выражение для \( b \) из Уравнения 1 в Уравнение 2:

\[ 7a + 5(3a - 1.5) = 12 \]

\[ 7a + 15a - 7.5 = 12 \]

\[ 22a = 12 + 7.5 \]

\[ 22a = 19.5 \]

\[ a = \frac{19.5}{22} = \frac{195}{220} = \frac{39}{44} \]

Теперь найдем \( b \), подставив значение \( a \) в Уравнение 1:

\[ b = 3a - 1.5 \]

\[ b = 3\frac{39}{44} - 1.5 \]

\[ b = \frac{117}{44} - \frac{3}{2} \]

\[ b = \frac{117}{44} - \frac{3 \times 22}{2 \times 22} \]

\[ b = \frac{117 - 66}{44} \]

\[ b = \frac{51}{44} \]

Таким образом, значения параметров \( a \) и \( b \) равны:

\( a = \frac{39}{44} \)

\( b = \frac{51}{44} \)

Проверка:

Подставим найденные \( a \) и \( b \) в исходные уравнения с \( x=-3 \) и \( y=5 \).

Первое уравнение:

\[ (2\frac{39}{44}-1)(-3) + \frac{51}{44}(5) = (\frac{78}{44}-\frac{44}{44})(-3) + \frac{255}{44} = \frac{34}{44}(-3) + \frac{255}{44} = -\frac{102}{44} + \frac{255}{44} = \frac{153}{44} \]

Правая часть первого уравнения: \( 3b = 3 \times \frac{51}{44} = \frac{153}{44} \). Первое уравнение выполняется.

Второе уравнение:

\[ \frac{39}{44}(-3) - (\frac{51}{44}+1)(5) = -\frac{117}{44} - (\frac{51}{44}+\frac{44}{44})(5) = -\frac{117}{44} - \frac{95}{44}(5) = -\frac{117}{44} - \frac{475}{44} = -\frac{592}{44} \]

Правая часть второго уравнения: \( 4a - 17 = 4 \times \frac{39}{44} - 17 = \frac{156}{44} - \frac{17 \times 44}{44} = \frac{156 - 748}{44} = -\frac{592}{44} \). Второе уравнение выполняется.

Ответ: $$a = \frac{39}{44}$$, $$b = \frac{51}{44}$$