10. Найдите прямоугольник с вершинами в отмеченных точках и величину угла α на рисунке 22.

Обозначим левую точку окружности через \(L\), верхнюю левую — через \(A\), верхнюю правую — через \(B\), внутреннюю точку — через \(O\), нижние точки — через \(C\) и \(D\).

1. Из равенств \(LO=CD\) и \(LC=OD\), а также общей стороны \(LD\), следует равенство треугольников \(LOD\) и \(DCL\). Поэтому соответствующие стороны параллельны: \(LO\parallel CD\) и \(LC\parallel OD\).
2. По равенству отмеченных отрезков \(LA=OB\) и свойствам вписанных углов получаем \(LA\parallel OB\), а также \(AB\parallel LO\).
3. Следовательно, четырёхугольник \(LA BO\) является параллелограммом. Один из его углов прямой, поэтому это прямоугольник.
4. Искомый прямоугольник имеет вершины в порядке \(L-A-B-O\).
5. Угол при нижней точке равен \(130^\circ\), поэтому соответствующий острый угол, образованный диагональю и стороной прямоугольника, равен \(130^\circ-90^\circ=40^\circ\).

Ответ: прямоугольник — \(LA BO\); \(\alpha=40^\circ\).