10. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 12/13 и 0 < α < π/2; 2) sin α = −√3/4 и π < α < 3π/2; 3) tg α = −1/3 и 3π/2 < α < 2π; 4) ctg α = −7 и π/2 < α < π.

Используем тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) и учитываем четверть, в которой находится угол.

1. Так как \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\), синус и косинус положительны.

   \(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}.\)

   \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{5}{12},\quad \ctg\alpha=\frac{12}{5}.\)

2. Так как \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\), синус и косинус отрицательны.

   \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{3}{16}}=-\frac{\sqrt{13}}{4}.\)

   \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{39}}{13},\quad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{39}}{3}.\)

3. Так как \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\), косинус положителен, а синус отрицателен. Из \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{1}{3}\) получаем отношение катетов 1:3.

   Тогда \(\sin\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\), \(\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\ctg\alpha=-3\).

4. Так как \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), синус положителен, а косинус отрицателен. Из \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=-7\) получаем отношение катетов 7:1.

   Следовательно, \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\), \(\cos\alpha=-\frac{7}{\sqrt{50}}=-\frac{7\sqrt{2}}{10}\), \( g\alpha=-\frac{1}{7}\).

Ответ: 1) \(\sin\alpha=\frac{5}{13},\ g\alpha=\frac{5}{12},\ \ctg\alpha=\frac{12}{5}\); 2) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{13}}{4},\ g\alpha=\frac{\sqrt{39}}{13},\ \ctg\alpha=\frac{\sqrt{39}}{3}\); 3) \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10},\ \cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10},\ \ctg\alpha=-3\); 4) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{10},\ \cos\alpha=-\frac{7\sqrt{2}}{10},\ g\alpha=-\frac{1}{7}\).