10. Найти радиус R окружности. На рисунке диаметр перпендикулярен отрезку длиной 4, проведённому от окружности; наклонный отрезок от верхней точки до правого конца диаметра равен 4√5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 4 и отрезком диаметра от основания перпендикуляра до правого конца окружности. По теореме Пифагора этот отрезок равен √((4√5)² − 4²) = √(80 − 16) = 8.

Пусть расстояние от центра окружности до основания перпендикуляра равно x. По рисунку основание находится левее центра, поэтому радиус равен x + 8. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и катетами x и 4 получаем R² = x² + 16. Подставим R = x + 8: (x + 8)² = x² + 16, откуда 16x = −48, x = −3 — это противоречит принятому направлению, значит на рисунке основание перпендикуляра расположено правее центра? Проверим ориентацию: центр находится правее основания, следовательно расстояние от основания до правого конца равно R − x = 8. Тогда R² = x² + 16 и (R − x)(R + x) = 16; отсюда 8(R + x) = 16, R + x = 2. Решая систему, получаем R = 5.

Ответ: 5.