10. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Расстояние от точки O до прямой AB равно 6 см, ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°. Найдите: а) угол ABO; б) радиус окружности.

Так как \(OB=OC\), треугольник OBC равнобедренный, поэтому \(\angle OCB=\angle OBC=15°\). Тогда \(\angle BOC=180°-15°-15°=150°\).

Центральные углы \(\angle AOC\), \(\angle BOC\) и \(\angle AOB\) составляют полный угол вокруг O. Следовательно, \(\angle AOB=360°-90°-150°=120°\). Поскольку \(OA=OB\), треугольник AOB равнобедренный, и \(\angle ABO=(180°-120°):2=30°\).

Перпендикуляр из центра окружности к хорде AB делит её пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, расстоянием от O до AB и половиной хорды AB, угол при O равен \(\frac{\angle AOB}{2}=60°\). Поэтому \(6=R\cos 60°=\frac{R}{2}\), откуда \(R=12\) см.

Ответ: а) \(30°\); б) 12 см.