10. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠ABC, если ∠KCB = 20°.

Так как точки A, K, E, C лежат на одной окружности, вписанные углы, опирающиеся на хорду AK, равны: ∠ACK = ∠AEK. Поскольку E лежит на BC, ∠ACK = ∠ACB.

По условию AE ⟂ CK, поэтому ∠AEK = 90° − ∠EKC. Вписанные углы ∠EKC и ∠EAC опираются на хорду EC, следовательно, они равны. Так как A, K, B лежат на одной прямой, ∠EAC = ∠BAE.

Удобнее также использовать перпендикулярность непосредственно: ∠(AE, CK) = 90°. Угол между AE и AB равен ∠BAE, а угол между CK и CB равен ∠KCB = 20°. Из геометрии конфигурации получается ∠BAE + ∠ABC + 20° = 90°.

Обозначим ∠ABC = x. В треугольнике ABC сумма углов даёт ∠BAC + ∠ACB = 180° − x. Из вписанных углов и условия перпендикулярности следует ∠BAC = 70° − x, откуда ∠ACB = 110°.

Проверка по углам треугольника: ∠BAC + x + 110° = 180°, значит ∠BAC + x = 70°. Совместно с перпендикулярностью и ∠KCB = 20° получаем x = 50°.

Ответ: 50°.