Решение:
Синтаксические нормы нарушены в предложениях, где есть ошибки в построении словосочетаний, управлении, согласовании или построении предложений с деепричастными оборотами.
- Перед студентами факультета с лекцией по орфографии выступила известный профессор Савицкая. (Нарушение порядка слов, неясно, кто выступил с лекцией — профессор или студенты). Правильно: Перед студентами факультета выступила известный профессор Савицкая с лекцией по орфографии.
- На картинах Сурикова вы не только увидите Петра 1, стрельцов, царевну Софью, но и покорителей Сибири. (Неправильное согласование при однородных членах. Следует: На картинах Сурикова вы увидите не только Петра I, стрельцов, царевну Софью, но и покорителей Сибири).
- Возвращаясь из гимназии, пошёл мокрый снег. (Нарушение нормы построения предложения с деепричастным оборотом. Действие деепричастного оборота должно относиться к подлежащему. Здесь снег не может возвращаться из гимназии). Правильно: Возвращаясь из гимназии, я увидел, что пошёл мокрый снег.
- Юных шахматистов не покидала уверенность в победе. (Нарушение нормы управления. Правильно: Юных шахматистов не покидала уверенность в победе.)
- Мельник стоял посредине хозяйственного двора, который радовался большому урожаю зерновых. (Неправильное употребление придаточного предложения. Хозяйственный двор не может радоваться. Следует: Мельник стоял посредине хозяйственного двора, где радовались большому урожаю зерновых).
Ответ: 1, 2, 3, 5.