10. От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним, со скоростью на 2 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. ИЛИ Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси? ИЛИ Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

Первый вариант.

1. Пусть скорость первого теплохода равна \(x\) км/ч. Тогда скорость второго — \(x+2\) км/ч.
2. Время движения первого на 2 часа больше: \(\frac{323}{x} - \frac{323}{x+2} = 2\).
3. Упрощаем: \(\frac{646}{x(x+2)} = 2\), поэтому \(x(x+2)=323\).
4. Решаем уравнение \(x^2+2x-323=0\): \(x = \frac{-2+\sqrt{1296}}{2}=17\). Отрицательный корень не подходит.

Ответ: 17 км/ч.

Второй вариант.

1. Обозначим через \(x\) массу 45%-го раствора, а через \(y\) — массу 97%-го раствора, в килограммах.
2. В первом случае количество кислоты даёт уравнение \(0.45x+0.97y=0.62(x+y+10)\), то есть \(-0.17x+0.35y=6.2\).
3. Во втором случае добавляется \(10\cdot 0.5=5\) кг кислоты: \(0.45x+0.97y+5=0.72(x+y+10)\), то есть \(-0.27x+0.25y=2.2\).
4. Умножая уравнения соответственно на 100, получаем \(-17x+35y=620\) и \(-27x+25y=220\). Решение системы: \(y=25\), \(x=15\).

Ответ: 15 кг 45%-го раствора.

Третий вариант.

1. Пусть первая труба пропускает \(x\) л/мин. Тогда вторая пропускает \(x+5\) л/мин.
2. Время заполнения резервуара первой трубой на 5 минут больше: \(\frac{104}{x}-\frac{104}{x+5}=5\).
3. Упрощаем: \(\frac{520}{x(x+5)}=5\), откуда \(x(x+5)=104\).
4. Решаем \(x^2+5x-104=0\): \(x=\frac{-5+21}{2}=8\). Отрицательное значение скорости не подходит.

Ответ: 8 л/мин.