10. Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на три отрезка AP, PQ и QB так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой A и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков AP и QB.

Из условия AP = 2PQ = 2QB следует, что PQ и QB равны, а AP вдвое больше каждого из них. Поэтому отрезок AB состоит из четырёх равных частей: AP — две части, PQ — одна, QB — одна.

Тогда PQ = QB = a/4, AP = a/2.

1. а) Середина QB расположена на расстоянии QB/2 = a/8 от Q. От точки A до Q расстояние AP + PQ = a/2 + a/4 = 3a/4.

   Следовательно, расстояние от A до середины QB равно 3a/4 + a/8 = 7a/8.

2. б) Середина AP находится на расстоянии AP/2 = a/4 от A. Середина QB, как установлено выше, находится на расстоянии 7a/8 от A.

   Расстояние между серединами равно 7a/8 − a/4 = 7a/8 − 2a/8 = 5a/8.

Ответ: а) 7a/8; б) 5a/8.