10 Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Решение:

1. Обозначение переменных:
   
   
   
   • Пусть x - производительность второй трубы (л/мин).
   
   
   • Тогда (x - 6) - производительность первой трубы (л/мин).
   
   
   • Время заполнения резервуара второй трубой: t2 = 112 / x (мин).
   
   
   • Время заполнения резервуара первой трубой: t1 = 112 / (x - 6) (мин).
   
   
   
   


2. Условие задачи: t1 - t2 = 6 минут


3. Подстановка в уравнение:
   

   \[ \frac{112}{x - 6} - \frac{112}{x} = 6 \]

   
   


4. Решение уравнения:
   
   
   
   • Приведем к общему знаменателю:
     

     \[ \frac{112x - 112(x - 6)}{x(x - 6)} = 6 \]

     
     
   
   
   • Упростим числитель:
     

     \[ \frac{112x - 112x + 672}{x^2 - 6x} = 6 \]

     
     

     \[ \frac{672}{x^2 - 6x} = 6 \]

     
     
   
   
   • Умножим обе части на (x^2 - 6x):
     

     \[ 672 = 6(x^2 - 6x) \]

     
     

     \[ 672 = 6x^2 - 36x \]

     
     
   
   
   • Перенесем все в одну сторону:
     

     \[ 6x^2 - 36x - 672 = 0 \]

     
     
   
   
   • Разделим на 6:
     

     \[ x^2 - 6x - 112 = 0 \]

     
     
   
   
   • Решим квадратное уравнение через дискриминант:
     

     \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-112) = 36 + 448 = 484 \]

     
     

     \[ \sqrt{D} = 22 \]

     
     

     \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 22}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

     
     

     \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 22}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

     
     
   
   


5. Выбор корректного ответа: Производительность трубы не может быть отрицательной, поэтому x = 14 л/мин.

Ответ: 14