10. Построить графики функций: а) \(y=\arcsin(\sin x)\); б) \(y=\arccos(\cos x)\); в) \(y=\arcsin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\); г) \(y=\arccos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\); д) \(y=\arctg x-1\).

а) \(y=\arcsin(\sin x)\)

Значения функции лежат в интервале \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). На каждом периоде \([2\pi k-\frac{\pi}{2},\,2\pi k+\frac{\pi}{2}]\) график имеет вид \(y=x-2\pi k\), а на \([2\pi k+\frac{\pi}{2},\,2\pi k+\frac{3\pi}{2}]\) — \(y=(2k+1)\pi-x\), где \(k\in\mathbb Z\). Период равен \(2\pi\).

б) \(y=\arccos(\cos x)\)

Значения функции лежат в \([0,\pi]\). На каждом интервале \([2\pi k,\,2\pi(k+1)]\) график равен \(x-2\pi k\) при \(x\in[2\pi k,2\pi k+\pi]\) и \(2\pi(k+1)-x\) при \(x\in[2\pi k+\pi,2\pi(k+1)]\). Период равен \(2\pi\).

в) \(y=\arcsin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\)

Это график \(y=\arcsin x\), сдвинутый вправо на \(\frac{\pi}{3}\). Область определения: \(x\in[\frac{\pi}{3}-1,\frac{\pi}{3}+1]\). Концы графика: \((\frac{\pi}{3}-1,-\frac{\pi}{2})\) и \((\frac{\pi}{3}+1,\frac{\pi}{2})\).

г) \(y=\arccos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\)

График \(y=\arccos x\) сдвинут влево на \(\frac{\pi}{4}\) и вниз на 1. Область определения: \(x\in[-1-\frac{\pi}{4},1-\frac{\pi}{4}]\); значения функции — \([-1,\pi-1]\). Концы графика: \((-1-\frac{\pi}{4},\pi-1)\) и \((1-\frac{\pi}{4},-1)\).

д) \(y=\arctg x-1\)

График \(y=\arctg x\) сдвинут вниз на 1. Он проходит через точку \((0,-1)\); горизонтальные асимптоты: \(y=-1-\frac{\pi}{2}\) и \(y=-1+\frac{\pi}{2}\).