10. Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} -1.5x-6 & \text{при } x \le -2, \\ x-1 & \text{при } -2<x<1, \\ 1-x & \text{при } x>1. \end{cases}\) а) Укажите значения аргумента х, при которых функция принимает отрицательные значения. б) Определите при каких значениях а прямая у = а, где некоторое число, имеет с графиком три общие точки.

Решение:

1. Построение графика:
   • Для \(x \le -2\), строим прямую \(y = -1.5x - 6\). При \(x = -2\), \(y = -1.5(-2) - 6 = 3 - 6 = -3\). Точка: (-2, -3).
   • Для \(-2 < x < 1\), строим прямую \(y = x - 1\). При \(x \to -2\), \(y \to -3\). При \(x \to 1\), \(y \to 0\). Участок графика между точками (-2, -3) (не включая) и (1, 0) (не включая).
   • Для \(x > 1\), строим прямую \(y = 1 - x\). При \(x \to 1\), \(y \to 0\). При \(x = 2\), \(y = 1 - 2 = -1\). Точка: (2, -1).
2. а) Значения аргумента х, при которых функция принимает отрицательные значения:
   • \(f(x) < 0\)
   • Для \(x \le -2\): \(-1.5x - 6 < 0 ightarrow -1.5x < 6 ightarrow x > -4\). Учитывая условие \(x \le -2\), получаем \(-4 < x le -2\).
   • Для \(-2 < x < 1\): \(x - 1 < 0 ightarrow x < 1\). Учитывая условие \(-2 < x < 1\), получаем \(-2 < x < 1\).
   • Для \(x > 1\): \(1 - x < 0 ightarrow 1 < x\). Учитывая условие \(x > 1\), получаем \(x > 1\).

   Объединяя все интервалы, получаем: \(x < 1\).

3. б) Значения а, при которых прямая \(y = a\) имеет с графиком три общие точки:
   • График состоит из трех частей. Прямая \(y = a\) может пересекать все три части графика, если \(a\) находится между значениями функции на концах интервалов.
   • На интервале \(x \le -2\), функция убывает от \(\infty\) до -3.
   • На интервале \(-2 < x < 1\), функция возрастает от -3 до 0.
   • На интервале \(x > 1\), функция убывает от 0 до \(-\infty\).
   • Чтобы было три точки пересечения, \(a\) должно быть больше значения в точке (-2, -3) и меньше значения на границе интервала (-2, 1), то есть \(-3 < a < 0\).

Ответ: а) \(x < 1\). б) \(-3 < a < 0\).