10. Постройте график функции \(y=\dfrac{x-2}{2x-x^2}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

При \(x\ne0,2\) сократим дробь: \(y=\dfrac{x-2}{x(2-x)}=-\dfrac1x\). Область определения исключает \(x=0\) и \(x=2\): при \(x=0\) вертикальная асимптота, а в точке \((2;- frac12)\) на графике выколотая точка.

Для пересечения с прямой \(y=kx\) решаем \(-\dfrac1x=kx\), где \(x\ne0,2\). Получаем \(kx^2=-1\). При \(k\ge0\) решений нет. При \(k<0\) возможны два значения \(x=\pm\sqrt{-1/k}\), кроме случая, когда одно из них равно запрещённому \(2\). Это происходит при \(k=- frac14\): корни \(x=\pm2\), но точка при \(x=2\) выколота, а точка при \(x=-2\) принадлежит графику. Значит, остаётся ровно одно пересечение.

Ответ: \(k=-\dfrac14\).