10. Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдутся три точки А, В и С, окрашенные в один цвет, такие, что точка В является серединой отрезка АС.

Предположим, что на прямой есть только конечное число точек. Если это так, то можно выбрать две точки одного цвета, скажем, X и Y. Если расстояние между X и Y равно d, то точка, находящаяся на расстоянии d/2 от X (и d/2 от Y), будет серединой отрезка XY. Если эта точка уже существует и окрашена в тот же цвет, то мы нашли искомые точки. Если нет, то мы можем продолжить этот процесс, добавляя новые точки.